Двоичная арифметика правило

Двоичная арифметика. Вычитание чисел в двоичной системе счисления

Страницы работы

Содержание работы

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения.

Таблица двоичного сложения:

Таблица двоичного вычитания:

Таблица двоичного умножения:

Правила арифметики одинаковы для всех позиционных систем счисления.

Сложение двух чисел в двоичной системе счисления можно выполнять столбиком поразрядно, начиная с младшего разряда, как это делается в десятичной системе счисления. В каждом разряде, в соответствии с таблицей сложения, производится сложение двух цифр слагаемых и цифры переноса из предыдущего разряда.

Произведем сложение 55,25 и 19,5 в десятичной и в двоичной системах счисления.

Вычитание чисел в двоичной системе счисления выполняется так же, как и в десятичной. При вычитании в данном разряде занимается единица из следующего старшего разряда. Причем, занимаемая единица равна двум единицам данного разряда. Следует отметить, что в десятичной системе счисле-ния занимаемая единица равна десяти единицам данного раз-ряда. Заем единицы производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого количественно больше цифры в том же разряде уменьшаемого.

Поясним сказанное примерами. Для лучшего уяснения рас-смотрим вычитание десятичных и двоичных чисел.

Начало стрелки в примере указывает откуда делается заем единицы. Цифра, стоящая в начале стрелки, указывает число, оставшееся в данном разряде, а цифра в конце стрелки — чис-ло, в которое обращается занимаемая единица.

Умножение двоичных чисел производится путем образования частичных произведений и их последующего суммирования (как и десятичных чисел). Например,

В соответствии с таблицей двоичного умножения каждое частичное произведение или равно нулю, если в соответствующем разряде множителя стоит нуль, или равно множимому, если в соответствующем разряде множителя стоит единица.

При сложении частичные произведения сдвигаются так, что младшие разряды их совпадают с разрядами множителя, от которых получены эти частичные произведения.

Таким образом, операция умножения двоичных чисел сводится к операции сдвига и сложения. Положение запятой определяется так же, как при умножении десятичных чисел.

Деление чисел в двоичной системе счисления производится аналогично делению десятичных чисел. При делении нецелых чисел, они могут быть приведены к целым путем переноса запятой в делимом и делителе на одинаковое число разрядов и дописывания нулей в недостающие справа разряды. Например,

vunivere.ru

Тема урока: «Двоичная арифметика»

  • познакомить учащихся с двоичной системой счисления, указать ее недостатки и преимущества использования в вычислительной технике;
  • развивать логическое мышление; формировать навыки выполнения арифметических действий с двоичными числами;
  • прививать интерес к предмету.

Программно-дидактическое обеспечение: ПК, программа Калькулятор.

I. Организационный момент

Приветствие, проверка отсутствующих.

1. Постановка целей урока

После предложенных ответов учащихся, комментирую и объясняю, что сегодня на уроке мы научимся правильно выполнять арифметические действия в двоичной системе счисления.

2. Человек не ведет счет в двоичной системе, т.к. она для него не удобна. А кто или что использует ее для счета и почему?

II. Изложение нового материала

Двоичная система счисления

Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления.

– Чему равно основание двоичной системы счисления? (q = 2)

– Какой вид имеет развёрнутая форма записи двоичного числа? (А2n-1*2 n-1 + …a0*2 0 + a-1*2 -1 +…a-m*2 -m , где аi равно 1 или 0.)

Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих учёных. П.С.Лаплас писал о своём отношении к двоичной (бинарной) системе счисления великого математика Г.Ф.Лейбница: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создает всё из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа ». Эти слова подчеркивают удивительную универсальность алфавита состоящего всего из двух символов.

Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, необходимо освоить выполнение арифметических действий над двоичными числами.

Все позиционные системы «одинаковы», а именно, во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:

  • справедливы одни и те же законы арифметики: коммуникативный, ассоциативный, дистрибутивный;
  • справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
  • правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
  • Таблица сложения двоичных чисел проста.

    0 + 0 = 0
    0 + 1 = 1
    1 + 0 = 1
    1 + 1 = 10
    1 + 1 + 1 = 11

    При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

    0 – 0 = 0
    0 – 1 = 11
    1 – 0 = 1
    1 – 1 = 0

    Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведённой таблицей вычитания с учетом возможных заёмов из старших разрядов.

    Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

    При делении столбиком приходится в качестве промежуточных результатов выполнять действия умножения и вычитания.

    III. Закрепление изученного

    1001001 + 10101 (ответ 1011110);
    101101 + 1101101 (ответ 10011010)
    11000,11 + 11010,11 (ответ 110011,1)

    10001000 – 1110011 (ответ 10101)
    1101100 – 10110110 (ответ – 1001010)
    110101,101 – 1001,111 (101011,11)

    100001*111,11 (ответ: 11111111,11)
    10011*1111,01 (ответ: 100100001,11)

    1000000 / 1110 (ответ:100)
    11101001000/111100 (ответ: 11111)

    Оценивание работу учащихся, назвать отличившихся на уроке.

    V. Домашнее задание

    Выучить правила выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления, а так же таблицы сложения, вычитания и умножения в двоичной системе счисления.

    1. 110010 + 111,01;
    2. 11110000111 – 110110001;
    3. 10101,101 * 111;
    4. 10101110/101.

    Составьте таблицы сложения и умножения в троичной и пятеричной системе счисления.

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    двоичная арифметика

    Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения:

    Правила арифметики во всех позиционных системах аналогичны. При сложении в каждом разряде в соответствии с таблицей двоичного сложения производится сложение двух цифр слагаемых или двух этих цифр и 1, если имеется перенос из соседнего младшего разряда. В результате получается цифра соответствующего разряда суммы и, возможно, также 1 переноса в старший разряд. Приведем пример сложения двух двоичных чисел:

    Справа показано сложение тех же чисел, представленных в десятичной системе.

    При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из следующего старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда. Заем производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого больше цифры в том же разряде уменьшаемого. Поясним сказанное примером:

    Умножение двоичных многоразрядных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. В соответствии с таблицей двоичного умножения каждое частичное произведение равно 0, если в соответствующем разряде множителя стоит 0, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов влево, если в разряде множителя стоит 1. Таким образом, операция умножения многоразрядных двоичных чисел сводится к операциям сдвига и сложения. Положение запятой определяется так же, как при умножении десятичных чисел. Сказанное поясняется примером:

    1011,1 х 101,01 = 111100,011

    00000 + 10111 00000 10111____

    Особенности выполнения деления двоичных чисел поясняются следующим примером:

    1100,011:10,01 = ? 1100011| 10010 — 10010 101,1

    11011 — 10010 10010 — 10010 00000

    Благодаря простоте правил двоичного сложения, вычитания и умножения применение в ЭВМ двоичной системы счисления позволяет упростить схемы устройств, выполняющих арифметические операции.

    ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ

    Любая информация (числа, команды, алфавитно-цифровые записи и т. п.) представляется в компьютере в виде двоичных кодов (двоичных слов) фиксированной или переменной длины. Отдельные элементы двоичного кода, имеющие значение 0 или 1, называют разрядами или битами. В компьютере слова часто разбивают на части, называемые байтами. В современных ЭВМ широко используется байт, содержащий 8 бит.

    Двоичный разряд представляется в компьютере некоторым техническим устройством, например триггером, двум различным состояниям которого приписывают значения 0 и 1. Набор соответствующего количества таких устройств служит для представления многоразрядного двоичного числа (слова).

    В компьютере применяют две формы представления чисел: с фиксированной запятой (точкой) и с плавающей запятой (точкой). Эти формы называют также соответственно естественной и полулогарифмической.

    При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой фиксируется в определенном месте относительно разрядов числа. Обычно подразумевается, что запятая находится или перед старшим разрядом, или после младшего. В первом случае могут быть представлены только числа, которые по модулю меньше 1, во втором — только целые числа.

    Форматы данных для представления двоичных чисел с фиксированной запятой (точкой)

    На рис. 1.1 показаны примеры форматов данных для представления двоичных чисел с фиксированной запятой и соответствующие разрядные сетки. По сложившейся в вычислительной технике традиции нумерация разрядов (бит) в разрядной сетке в машинах общего назначения (ЕС ЭВМ) ведется слева направо, а в малых ЭВМ, микро-ЭВМ и микропроцессорах — справа налево. На разрядной сетке указаны веса разрядов.

    При представлении числа со знаком для кода знака выделяется «знаковый» разряд (обычно крайний слева). В этом разряде 0 соответствует плюсу, а 1 — минусу.

    На рис. 1.1, a показан формат для чисел с запятой, фиксированной перед старшим разрядом. В этом формате могут быть с точностью до 2 –(n-1) представлены числа (правильные дроби) в диапазоне

    Первые компьютеры были машинами с фиксированной запятой, причем запятая фиксировалась перед старшим разрядом числа. В настоящее время, как правило, форму с фиксированной запятой применяют для представления целых чисел (запятая фиксирована после младшего разряда).

    Используют два варианта представления целых чисел: со знаком и без знака. В последнем случае все разряды разрядной сетки служат для представления модуля числа.

    Представление чисел с фиксированной запятой используется как основное и единственное лишь в сравнительно небольших по своим вычислительным возможностям машинах, применяемых в системах передачи данных, для управления технологическими процессами и обработки измерительной информации в реальном масштабе времени.

    В машинах, предназначенных для решения широкого круга вычислительных задач, основным является представление чисел с плавающей запятой, не требующее масштабирования данных. Однако в таких машинах часто наряду с этой формой представления чисел используется также и представление с фиксированной запятой для целых чисел, поскольку операции с такими числами выполняются за меньшее время. В частности, к операциям с целыми числами сводятся операции над кодами адресов (операции индексной арифметики).

    Представление числа с плавающей запятой в общем случае имеет вид

    Знак ‘-‘ кодируется единицей, знак ‘+’ — нулем.

    Представление чисел с плавающей запятой

    При фиксированном числе разрядов мантиссы любая величина представляется в машине с наибольшей возможной точностью нормализованным числом.

    Число х = s»q называется нормализованным, если мантисса q удовлетворяет условию

    т. е . старший разряд мантиссы в s-ричной системе отличен от нуля. В процессе вычислений может получаться ненормализованное число. В этом случае машина, если это предписано командой, автоматически нормализует его («нормализация результата» операции).

    Пусть r старших разрядов s-ричной мантиссы равны 0. Тогда нормализация заключается в сдвиге мантиссы на r разрядов влево и уменьшении порядка на r единиц, при этом в младшие r разрядов мантиссы записывается 0. После такой операции число не меняется, а условие (2.4) выполняется. При нулевой мантиссе нормализация невозможна.

    В различных ЭВМ применяются представления чисел с плавающей запятой в системах счисления с различными основаниями, но равными целой степени числа 2 (s = 2 w ), при этом порядок р представляется целым числом, а мантисса q — числом, в котором группы по w двоичных разрядов изображают цифры мантиссы с основанием системы счисления s= 2 w .

    Примерами применяемых форм чисел с плавающей запятой с различными основаниями системы счисления являются

    x=2 p q (1 > |q| 1/2); x=8 p q (I > |q| 1/8);

    x = l6 p q (I > |q| 1/16).

    В скобках указаны соответствующие условия получения нормализованных чисел.

    Использование для чисел с плавающей запятой недвоичного основания несколько уменьшает точность вычислений (при заданном числе разрядов мантиссы), но позволяет увеличить диапазон представляемых в машине чисел и ускорить выполнение некоторых операций, в частности

    нормализации, за счет того, что сдвиг может производиться сразу на несколько двоичных разрядов (на четыре разряда для s = 16). Кроме того, уменьшается вероятность появления ненормализованных чисел в ходе вычислений.

    Диапазон представимых в машине чисел с плавающей запятой зависит от основания системы счисления и числа разрядов, выделенных для изображения порядка. Точность вычислений при плавающей запятой определяется числом разрядов мантиссы. С увеличением числа разрядов мантиссы увеличивается точность вычислений, но увеличивается и время выполнения арифметических операций.

    Задачи, решаемые на ЭВМ, предъявляют различные требования к точности вычислений. Поэтому во многих машинах используется несколько форматов с плавающей запятой с различным числом разрядов мантиссы.

    Прямой, обратный и дополнительный коды

    В компьютерах с целью упрощения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. При помощи этих кодов упрощается определение знака результата операции, операция вычитания (или алгебраического сложения) чисел сводится к арифметическому сложению их кодов, облегчается выработка признаков переполнения разрядной сетки. В результате упрощаются устройства компьютеров, выполняющие арифметические операции.

    Для представления отрицательных чисел в компьютерах применяют прямой, обратный и дополнительный коды. Положительные числа представляются в прямом коде. Во всех этих кодах выделяются цифровые разряды и знаковый (крайний слева), представляющий знак числа, причем знак плюс кодируется цифрой 0, а знак минус цифрой 1.

    Прямой код двоичного числа G с (n-1) цифровыми разрядами определяется как

    studfiles.net

    Двоичные числа и двоичная арифметика

    Двоичная арифметика

    Правила двоичной арифметики

    Двоичное сложение

    В простейшем случае, для одноразрядных чисел, правила двоичного сложения имеют вид:

    При сложении ( ) возникает два случая:

    1. когда входной перенос равен , получаем :
    2. Многоразрядные числа складываются по тем же правилам, но при этом учитывается входной перенос в каждом разряде: выходной перенос младшего разряда является входным переносом для соседнего старшего разряда. Рассмотрим несколько примеров сложения многоразрядных чисел.

      Двоичное вычитание

      Здесь рассматриваются правила, работающие в случае вычитания меньшего числа из большего. Все остальные случаи рассматриваются ниже в разделе 3.2, посвященном двоичной арифметике со знаками. В простейшем случае, для каждого разряда, правила двоичного вычитания имеют вид:

      Когда производится вычитание ( ) осуществляется займ из более старшего разряда. Знак вопроса означает, что разряд уменьшаемого изменяется в результате займа по правилу:

      При вычитании (0 — 1) в разряде разности получается 1, разряды уменьшаемого, начиная со следующего, изменяются на противоположные (инвертируются) до первой встречной единицы (включительно). После этого производится вычитание из измененных разрядов уменьшаемого.

      Рассмотрим несколько примеров вычитания многоразрядных чисел (из большего числа вычитается меньшее).

      Очевидно, что как в десятичном, так и в двоичном коде, складывать значительно проще, чем вычитать. Поэтому большое распространение получила двоичная арифметика с учетом знаков чисел, где вычитание заменяется сложением чисел с учетом их знака. При этом уже не имеет значения соотношение чисел между собой, какое из них больше — вычитаемое или уменьшаемое. Знак разности получается автоматически.

      Двоичная арифметика с учетом знаков чисел

      Прямой, обратный и дополнительный коды

      В двоичном коде знак числа представляет собой разряд, приписываемый слева от значащих разрядов числа. Знак » » обозначается логическим , знак » » — логической . Для наглядности все примеры будем рассматривать для целых чисел, отделяя знаковый разряд точкой.

      Прямой код (ПК) и для отрицательных, и для положительных чисел образуется одинаково, простым дописыванием знакового разряда.

      Так, в восьмиразрядном формате

      Обратный код (ОК) для положительных чисел совпадает с прямым, т.е. к значащим разрядам приписывается знаковый разряд. Для отрицательных чисел значащие разряды инвертируются (нули заменяются на единицы, единицы — на нули), после чего приписывается знак.

      Для того же числа обратный код имеет вид: , .

      Недостатком обратного кода является то, что одно и то же число и записывается по-разному: , , что может вызвать нежелательное разночтение работы логической схемы. Поэтому предпочтительным является дополнительный код.

      Дополнительный код (ДК) для положительных чисел совпадает с обратным и прямым, т.е. к значащим разрядам приписывается знаковый разряд. Для отрицательных чисел дополнительный код на 1 больше, чем обратный. После образования значащих разрядов приписывается знаковый разряд.

      Для значащих разрядов отрицательного числа справедлива формула:

      www.intuit.ru

      «Двоичная арифметика, алгоритм сложения». Учебные вопросы: 1. Правила недесятичной арифметики. 2. Способы представления чисел в разрядной сетке ЭВМ. — презентация

      Презентация была опубликована 2 года назад пользователемАнтон Лопухов

      Похожие презентации

      Презентация на тему: » «Двоичная арифметика, алгоритм сложения». Учебные вопросы: 1. Правила недесятичной арифметики. 2. Способы представления чисел в разрядной сетке ЭВМ.» — Транскрипт:

      1 «Двоичная арифметика, алгоритм сложения». Учебные вопросы: 1. Правила недесятичной арифметики. 2. Способы представления чисел в разрядной сетке ЭВМ.

      2 Арифметические операции над двоичными числами Сложение (вычитание). Операция вычитания приводится к операции сложения путем преобразования чисел в обратный или дополнительный код. Пусть даны числа А 0 и В 0, тогда операция алгебраического сложения выполняется в соответствии с Табл. 1 При выполнении сложения цифр необходимо соблюдать следующие правила: 1. Слагаемые должны иметь одинаковое число разрядов. Для выравнивания разрядной сетки слагаемых можно дописывать незначащие нули слева к целой части числа и незначащие нули справа к дробной части числа. 2. Знаковые разряды чисел участвуют в сложении так же, как и сами числа. 3. Преобразования кодов производятся с изменением знаков чисел. Приписанные незначащие нули изменяют свое значение при преобразованиях по общему правилу. 4. При сложении цифры знаковых разрядов складывают с отбрасыванием возникающего из этого разряда переноса. Знак результата формируется автоматически, результат представляется в том коде, в котором представлены исходные слагаемые.

      3 Правила недесятичной арифметики Сложение трех однозначных двоичных чисел производится по следующим правилам: = 0, = = = = = = = 11 В вычислительной технике операции вычитания заменяются обычно операциями сложения. Пример 1 85 – 37 = 48 Вместо того, чтобы из числа 85 вычитать число 37, к числу 85 прибавляется число 63 = 100 – 37 (дополнительное к 37) и от результата 148 отнимается единица в старшем разряде. Получается число 48, которое является искомой разностью. Аналогичным образом можно и в двоичной системе заменить вычитание сложением с использованием двоичного кода. Саму операцию вычитания можно представить как сложение с отрицательным числом.

      4 На основании этих равенств производится сложение многозначных двоичных чисел. Рассмотрим следующий пример: Сложение начинают с разряда единиц (1) 2 + (1) 2 = (10) 2. Ноль записывают под чертой, а единицу переносят в следующий разряд разряд двоек (надписывают сверху). Переходят к разряду двоек: (1) 2 + (0) 2 + (1) 2 = (10) 2. Ноль записывают, а единицу переносят в разряд четверок. Переходят к разряду четверок: (1 ) 2 + (1) 2 + (0) 2 = (10) 2. Ноль записывают, а единицу переносят в разряд восьмерок. Так, переходя от разряда к разряду (справа налево), постепенно получают все цифры суммы. Сложение

      5 Вычитание Вычитание двоичных чисел производится так же, как и десятичных, т. е. последовательно по разрядам от младшего к старшему. Если из меньшей цифры в данном разряде вычитается большая, то производится заем единицы из следующего старшего разряда, т.е. цифра этого старшего разряда становится на единицу меньше. В вычислительной технике при использовании двоичной системы счисления крайний левый разряд служит для записи знака числа. Для положительного числа в этот разряд записывается 0, а для отрицательного 1. Записанные таким образом двоичные числа будем называть записанными в прямом коде. Рассмотрим составление дополнительного кода к прямому коду отрицательного числа. Дополнительный код отрицательных двоичных чисел формируется по следующему правилу. Сначала цифры всех разрядов, кроме знакового, инвертируют (вместо 0 записывают 1, а вместо 1 0) и в младший разряд добавляют единицу. Если в младшем разряде уже стоит единица, то при этом приходится изменять цифру в следующем, а, возможно, и в более старших разрядах.

      6 Арифметические операции над двоичными числами Пример 1.1 Сложить два числа А 10 = 6; В 10 = 16. А 2 = +110 = +0110; В 2 = Исходные числа имеют различную разрядность, необходимо провести выравнивание разрядной сетки: Сложение в обратном или дополнительном коде дает один и тот же результат С:

      7 Арифметические операции над двоичными числами Умножение. Умножение двоичных чисел наиболее просто реализуется в прямом коде. Рассмотрим, каким образом оно приводится к операциям сложения и сдвигам. Пример 1.2 Умножить два числа A 10 = 6; В 10 = 5. Перемножим эти числа, представленные прямыми двоичными кодами, так же, как это делается в десятичной системе. С = 30 Нетрудно видеть, что произведение получается путем сложения частных произведений, представляющих собой разряды множимого, сдвинутые влево в соответствии с позициями разрядов множителя. Частные произведения, полученные умножением на нуль, игнорируются.

      8 Арифметические операции над двоичными числами Деление. Операция деления, как и в десятичной арифметике, является обратной операции умножения. Покажем, что и эта операция приводится к последовательности операций сложения и сдвига. Пример 1.3 Разделить два числа А 10 = 40; В 10 = 5. Деление произведено так же, как это делается обычно в десятичной системе. Сначала проверяется, можно ли вычесть значение делителя из старших разрядов делимого. Если возможно, то в разряде частного записывается единица и определяется частная разница. В противном случае в частное записывается нуль и разряды делителя сдвигаются вправо на один разряд по отношению к разрядам делимого. К полученной предыдущей разнице сносится очередная цифра делимого, и данный процесс повторяется, пока не будет получена необходимая точность. Если учесть, что все вычитания в ЭВМ заменяются сложением в обратном или в дополнительном коде, то действительно операция деления приводится к операциям сложения и сдвигам вправо разрядов делителя относительно разрядов делимого.

      www.myshared.ru