Фурье правила

Фурье правила

Еще одно важное свойство устанавливается теоремой Парсеваля для двух функций g(t) и h(t):

. (8)

Если положить g(t) = h(t), то теорема Парсеваля сводится к теореме для энергии

. (9)

Выражение (9) — это, в сущности, просто формулировка закона сохранения энергии в двух областях (временной и частотной). В (9) слева стоит полная энергия сигнала, таким образом, функция

(10)

описывает распределение энергии по частоте для детерминированного сигнала h(t) и поэтому называется спектральной плотностью энергии (СПЭ). С помощью выражений

(11)

можно вычислить амплитудный и фазовый спектры сигнала h( t ).

Операции дискретизации и взвешивания

В следующем разделе мы введем дискретно-временной ряд Фурье (ДВРФ) или иначе дискретное преобразование Фурье (ДПФ) как частный случай непрерывно-временного преобразования Фурье (НВПФ) с использованием двух базовых операций обработки сигналов — взятия отсчетов (дискретизации) и взвешивания с помощью окна. Здесь рассмотрим влияние этих операций на сигнал и его преобразование. В таблице 2 перечислены функции, с помощью которых осуществляется взвешивание и дискретизация .

При равномерных отсчетах с интервалом T секунд частота отсчетов F равна 1 /T Гц. Заметим, что взвешивающая функция и функция отсчетов во временной области обозначаются соответственно TW (time windowing) и TS (time sampling), а в частотной области — FW (frequency windowing) и FS (frequency sampling).

Таблица 2. Взвешивание и дискретизирующие функции

Предположим, что берутся отсчеты непрерывного действительного сигнала x(t) c ограниченным спектром, верхняя частота которого равна F0. НВПФ действительного сигнала — это всегда симметричная функция с полной шириной 2F0, см. рис.1.
Отсчеты сигнала x(t) могут быть получены посредством умножения этого сигнала на функцию отсчетов:

(12)

Рис.1 — иллюстрация теоремы отсчетов во временной области для действительного сигнала с ограниченным спектром:
а — исходная функция времени и ее преобразование Фурье;
б — функция отсчетов во времени и ее преобразование Фурье;
в — временные отсчеты исходной функции и ее периодически продолженное преобразование Фурье для случая Fo nk периодична по k с периодом N/2. Поэтому, хотя номер k в выражении (37) принимает значения от 0 до N-1, каждая из сумм вычисляется для значений k от 0 до N/2-1. Можно оценить число комплексных операций умножения и сложения, необходимых для вычисления преобразования Фурье в соответствии с алгоритмом (37)-(38). Два N/2-точечных преобразования Фурье по формулам (38) предполагают выполнение 2(N/2) 2 умножений и приблизительно столько же сложений. Объединение двух N/2-точечных преобразований по формуле (37) требует еще N умножений и N сложений. Следовательно, для вычисления преобразования Фурье для всех N значений k необходимо произвести по N+N 2 /2 умножений и сложений. В то же время прямое вычисление по формуле (35) требует по N 2 умножений и сложений. Уже при N>2 выполняется неравенство N+N 2 /2 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

При этом, вследствие периодичности последовательности W nk N/4 по k с периодом N/4, суммы (40) необходимо вычислять только для значений k от 0 до N/4-1. Поэтому расчет последовательности X[k] по формулам (37), (39) и (40) требует, как нетрудно подсчитать, уже по 2N+N 2 /4 операций умножения и сложения.
Следуя таким путем, объем вычислений X[k] можно все более и более уменьшать. После m=log2N разложений приходим к двухточечным преобразованиям Фурье вида

(41)

где «одноточечные преобразования» X1[k,p] представляют собой просто отсчеты сигнала x[n]:

В итоге можно записать алгоритм БПФ, получивший по понятным причинам название алгоритма с прореживанием по времени :

где k=0,1, p=0,1. N/2 -1;

где k=0,1. 2N/M -1, p=0,1. M/2 -1;

На каждом этапе вычислений производится по N комплексных умножений и сложений. А так как число разложений исходной последовательности на подпоследовательности половинной длины равно log2N, то полное число операций умножения-сложения в алгоритме БПФ равно Nlog2N. При больших N имеет место существенная экономия вычислительных операций по сравнению с прямым вычислением ДПФ. Например, при N = 2 10 = 1024 число операций уменьшается в 117 раз.
Рассмотренный нами алгоритм БПФ с прореживанием по времени основан на вычислении преобразования Фурье путем формирования подпоследовательностей входной последовательности x[n]. Однако можно использовать также разложение на подпоследовательности преобразования Фурье X[k]. Алгоритм БПФ, основанный на этой процедуре, носит название алгоритма с прореживанием по частоте. Подробнее о быстром преобразовании Фурье можно прочитать, например, в [2].

Случайные процессы и спектральная плотность мощности

Дискретный случайный процесс x[n,i] можно рассматривать как некоторую совокупность, или ансамбль, действительных или комплексных дискретных временных (или пространственных) последовательностей, каждую из которых можно было бы наблюдать как результат проведения некоторого эксперимента (n — временной индекс, i — номер наблюдения). Последовательность, полученную в результате одного из наблюдений будем обозначать x[n]. Операцию усреднения по ансамблю (т.е. статистического усреднения) будем обозначать посредством оператора <>. Таким образом, — среднее значение случайного процесса x[n] в момент времени n. Автокорреляция случайного процесса в два различных момента времени n1 и n2 определяется выражением rxx[n1,n2]= .

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его среднее значение постоянно (не зависит от времени), а автокорреляция зависит только от разности индексов времени m=n1-n2 (временного сдвига или задержки между отсчетами). Таким образом, стационарный в широком смысле дискретный случайный процесс x[n] характеризуется постоянным средним значением = и автокорреляционной последовательностью (АКП)

Отметим следующие свойства АКП:

rxx[0] |rxx[m]| , rxx[-m] = r*xx[m] , (45)

которые справедливы при всех m.
Спектральная плотность мощности (СПМ) определяется как дискретно-временное преобразование Фурье (ДВПФ) автокорреляционной последовательности

. (46)

СПМ, ширина которой полагается ограниченной значениями ±1/2T Гц, является периодической функцией частоты с периодом 1/T Гц. Функция СПМ описывает распределение мощности случайного процесса по частоте. Для подтверждения избранного для нее названия рассмотрим обратное ДВПФ

(47)

вычисляемое при m=0

(48)

Автокорреляция при нулевом сдвиге характеризует среднюю мощность случайного процесса. Согласно (48), площадь под кривой Pxx(f) характеризует среднюю мощность, поэтому Pxx(f) представляет собой функцию плотности (мощность на единицу измерения частоты), которая характеризует распределение мощности по частоте. Пару преобразований (46) и (47) часто называют теоремой Винера-Хинчина для случая дискретного времени. Поскольку rxx[-m]=r*xx[m], то СПМ должна быть строго действительной положительной функцией. Если АКП — строго действительная функция, то rxx[-m]=rxx[m] и СПМ можно записать в форме косинус-преобразования Фурье

,

что означает также, что Pxx(f) = Pxx(-f), т.е. СПМ — четная функция.
До сих пор мы при определении среднего значения, корреляции и спектральной плотности мощности случайного процесса пользовались статистическим усреднением по ансамблю. Однако на практике обычно не удается получить ансамбль реализаций требуемого процесса, по которому можно было бы вычислить эти статистические характеристики. Желательно оценивать все статистические свойства по одной выборочной реализации x(t), заменяя усреднение по ансамблю усреднением по времени. Свойство, позволяющее такую замену осуществить называется эргодичностью. Говорят, что случайный процесс эргодичен, если с вероятностью, равной единице, все его статистические характеристики можно предсказать по одной реализации из ансамбля с помощью усреднения по времени. Иными словами, средние значения по времени почти всех возможных реализаций процесса с вероятностью единица сходятся к одной и той же постоянной величине — среднему значению по ансамблю

. (49)

Этот предел, если он существует, сходится к истинному среднему значению тогда и только тогда, когда дисперсия среднего по времени стремится к нулю, что означает выполнение следующего условия:

. (50)

Здесь cxx[m] — истинное значение ковариации процесса x[n].
Аналогично, наблюдая значение произведения отсчетов процесса x[n] в два момента времени, можно ожидать, что среднее значение будет равно

(51)

Допущение об эргодичности позволяет не только ввести через усреднение по времени определения для среднего значения и автокорреляции, но также дать подобное определение и для спектральной плотности мощности

. (52)

Эта эквивалентная форма СПМ получается посредством статистического усреднения модуля ДВПФ взвешенной совокупности данных, поделенного на длину записи данных, для случая, когда число отсчетов увеличивается до бесконечности. Статистическое усреднение необходимо здесь потому, что ДВПФ само является случайной величиной, изменяющейся для каждой реализации x[n]. Для того, чтобы показать, что (52) эквивалентно теореме Винера-Хинчина, представим квадрат модуля ДВПФ в виде произведения двух рядов и изменим порядок операций суммирования и статистического усреднения:

(53)

Используя известное выражение

, (54)

соотношение (53) можно свести к следующему:

( 55 )

Заметим, что на последнем этапе вывода (55) использовалось допущение о том, что автокорреляционная последовательность «затухает», так что

. (56)

Взаимосвязь двух определений СПМ (46) и (52) наглядно показывает диаграмма, представленная на рисунке 4.
Если в выражении (52) не учитывать операцию математического ожидания, то получим оценку СПМ

, ( 57)

которая называется выборочным спектром.

Рис. 4. Взаимосвязь двух способов оценивания спектральной плотности мощности

Периодограммный метод спектрального оценивания

Выше мы ввели два формальных эквивалентных метода определения спектральной плотности мощности (СПМ). Косвенный метод основан на использовании бесконечной последовательности данных для расчета автокорреляционной последовательности, преобразование Фурье которой дает искомую СПМ. Прямой метод определения СПМ основан на вычислении квадрата модуля преобразования Фурье для бесконечной последовательности данных с использованием соответствующего статистического усреднения. СПМ, полученная без такого усреднения оказывается неудовлетворительной, поскольку среднеквадратичная ошибка такой оценки сравнима с ее средним значением. Сейчас мы рассмотрим методы усреднения, обеспечивающие получение гладких и статистически устойчивых спектральных оценок по конечному числу отсчетов. Оценки СПМ, основанные на прямом преобразовании данных и последующем усреднении, получили название периодограмм. Оценки СПМ, для получения которых по исходным данным сначала формируются корреляционные оценки, получили название коррелограммных. При использовании любого метода оценивания СПМ пользователю приходится принимать множество компромиссных решений, с тем чтобы по конечному количеству отсчетов получать статистически устойчивые спектральные оценки с максимально возможным разрешением. К этим компромиссам относятся, в частности, выбор окна для взвешивания данных и корреляционных оценок и таких параметров усреднения во временной и в частотной областях, которые позволяют сбалансировать требования к снижению уровня боковых лепестков, обусловленных взвешиванием, выполнению эффективного усреднения и к обеспечению приемлемого спектрального разрешения. На рис. 5 приведена диаграмма, отображающая основные этапы периодограммного метода


Рис. 5. Основные этапы оценивания СПМ с помощью периодограммного метода

Применение метода начинается со сбора N отсчетов данных, которые берутся с интервалом T секунд на отсчет с последующим (по желанию) этапом устранения тренда. Для того, чтобы получить статистически устойчивую спектральную оценку, имеющиеся данные необходимо разбить на перекрывающиеся (по возможности) сегменты и в последующем усреднить выборочные спектры, полученные по каждому такому сегменту. Параметры этого усреднения изменяются посредством соответствующего выбора числа отсчетов на сегмент (NSAMP) и числа отсчетов, на которое необходимо сдвинуть начало следующего сегмента (NSHIFT), см. рис. 6. Количество сегментов выбирается в зависимости от требуемой степени гладкости (дисперсии) спектральной оценки и требуемого спектрального разрешения. При малом значении параметра NSAMP получается больше сегментов, по которым будет производиться усреднение, а следовательно будут получаться оценки с меньшей дисперсией, но также и меньшим частотным разрешением. Увеличение длины сегмента (параметра NSAMP) повышает разрешение, естественно за счет увеличения дисперсии оценки из-за меньшего числа усреднений. Стрелка возврата на рис.5 указывает на необходимость нескольких повторных проходов по данным при различных длинах и количествах сегментов, что позволяет получить больше информации об исследуемом процессе.

Рис.6. Разбиение данных на сегменты для вычисления периодограммы

Один из важных вопросов, который является общим для всех классических методов спектрального оценивания, связан с взвешиванием данных. Обработка с помощью окна используется для управления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках. Заметим, что имеющуюся конечную запись данных удобно рассматривать как некоторую часть соответствующей бесконечной последовательности, видимую через применяемое окно. Так последовательность наблюдаемых данных x0[n] из N отсчетов математически можно записать как произведение бесконечной последовательности x[n] и функции прямоугольного окна

x0[n]=x[n]·rect[n].
При этом принимается очевидное допущение о том, что все ненаблюдаемые отсчеты равны нулю независимо от того, так ли это на самом деле. Дискретно-временное преобразование Фурье взвешенной последовательности равно свертке преобразований последовательности x[n] и прямоугольного окна rect[n]

Функция DN(f), называемая дискретной функцией sinc, или ядром Дирихле, представляет собой ДВПФ прямоугольной функции. Преобразование наблюдаемой конечной последовательности является искаженной версией преобразования бесконечной последовательности. Влияние прямоугольного окна на дискретно-временную синусоиду с частотой f0 иллюстрирует рис.7.

Рис.7. Иллюстрация смещения дискретно-временного преобразования Фурье вследствие просачивания из-за взвешивания данных.: а,в — исходная и взвешенная последовательности; б, г — их преобразования Фурье.

Из рисунка видно, что острые спектральные пики ДВПФ бесконечной синусоидальной последовательности расширились за счет свертки с преобразованием окна. Таким образом, минимальная ширина спектральных пиков взвешенной окном последовательности определяется шириной главного лепестка преобразования этого окна и не зависит от данных. Боковые лепестки преобразования окна будут изменять амплитуды соседних спектральных пиков (иногда это явление называют просачиванием). Поскольку ДВПФ — периодическая функция, то наложение боковых лепестков от соседних периодов может привести к дополнительному смещению. Увеличение частоты отсчетов позволяет ослабить эффект наложения боковых лепестков. Аналогичные искажения будут, естественно, наблюдаться и в случае несинусоидальных сигналов. Просачивание приводит не только к появлению амплитудных ошибок в спектрах дискретных сигналов, но может также маскировать присутствие слабых сигналов. Можно предложить ряд других функций окна, применение которых позволяет снизить уровень боковых лепестков по сравнению с тем, который имеется при использовании прямоугольного окна. Снижение уровня боковых лепестков будет уменьшать смещение спектральной оценки, однако это дается ценой расширения главного лепестка спектра окна, что, естественно, приводит к ухудшению разрешения. Следовательно и здесь должен выбираться какой-то компромисс между шириной главного лепестка и уровнем боковых лепестков. Для оценки качества окон используется несколько параметров. Традиционным показателем является ширина полосы главного лепестка на уровне половинной мощности. В качестве второго показателя используется эквивалентная ширина полосы, введенная выше. Два показателя используются и для оценки характеристик боковых лепестков. Первый — их максимальный уровень, второй — скорость спадания, характеризующая быстроту уменьшения боковых лепестков по мере удаления от главного лепестка. В таблице 3 приведены определения некоторых общеупотребительных дискретно-временных функций окна, а в таблице 4 — их характеристики.
Таблица 3. Определения типичных N-точечных дискретно-временных окон

www.vibration.ru

Преобразование Фурье

Существует множество тесно связанных разновидностей этого преобразования, которые будут приведены ниже.

Содержание

  • Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина).
  • Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
  • Синусоидальные базисные функции являются собственными функциямидифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)
    • По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
    • Дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, Шаблон:Lang-en FFT).

    Разновидности преобразования Фурье Править

    Непрерывное преобразование Фурье Править

    Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию $ f(t) $ как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами $ \omega $ и комплексными амплитудами $ F(\omega)=\mathcal(f)(t) $ . Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.

    В разных областях науки и техники могут преобладать различные формы (поэтому иногда надо уточнять определение).

    См. непрерывное преобразование Фурье для дополнительной информации, включая таблицу преобразований, обсуждение свойств преобразования и разнообразные соглашения. Обобщенным случаем такого преобразования является дробное преобразование Фурье, посредством которого преобразование можно возвести в любую вещественную «степень».

    Ряды Фурье Править

    Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для периодических функций или функций, существующих на ограниченной области $ f(x) $ (с периодом $ 2\pi $ ), и представляют эти функции как ряды синусоид:

    где $ F_n $ — комплексная амплитуда. Или, для вещественнo-значных функций, ряд Фурье часто записывается как:

    $ f(x) = \frac<1><2>a_0 + \sum_^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right] $ ,

    где $ a_n $ и $ b_n $ — (действительные) амплитуды ряда Фурье.

    Дискретное преобразование Фурье Править

    Для использования в компьютерах, как для научных расчетов, так и для цифровой обработки сигналов, необходимо иметь функции $ x_k $ , которые определены на дискретном множестве точек вместо непрерывной области, снова периодическом или ограниченном. В этом случае используется дискретное преобразование Фурье (DFT), которое представляет $ x_k $ как сумму синусоид:

    где $ f_j $ — амплитуды Фурье. Хотя непосредственное применение этой формулы требует $ \operatorname(n^2) $ операций, этот расчет может быть сделан за $ \operatorname(n\log n) $ операций используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) (см. O-большое), что делает преобразование Фурье практически важной операцией на компьютере.

    Оконное преобразование Фурье Править

    Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию:

    где $ F(t,\;\omega) $ даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала $ f(t) $ в окрестности времени $ t $ .

    Другие варианты Править

    Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором $ x_k $ определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

    Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщенных обоснований преобразования Фурье.

    Интерпретация в терминах времени и частоты Править

    В терминах обработки сигналов, преобразование берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где $ \omega $ — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

    Когда функция $ f $ является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции $ F $ представляет амплитуды соответствующих частот ( $ \omega $ ), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

    Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

    Литература Править

    Smith, Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. (также доступна в Сети: [1])

    ru.math.wikia.com

    Финансовый Анализ и Финансовый Менеджмент

    Анализ Фурье валютного рынка Форекс

    Анализ Фурье валютного рынка Форекс

    Любой человек, который начинает задумаваться о прогнозирование курса валюты на бирже Форекс, сразу же вспоминает старый добрый Фурье-анализ. Мы тоже не были исключением из этого правила и первое, что нам пришло в голову это сделать анализ Фурье поведения какой-нибудь валютной пары.

    Идея Фурье-анализа очень простая. Надо взять как можно больший интервал исторических данных поведения какой-нибудь валютной пары, посчитать коэффициенты дискретного Фурье-разложения, например, для цен закрытия, построить график Амплитудно-Частотной Характеристики (АЧХ) и найти на каких частотах бывают максимумы АЧХ. Эти частоты и будут соответствовать основным периодам изменения валютной пары. Поняв, через какие времена поведение валютной пары регулярно повторяется, можно уже прогнозировать поведение этой валютной пары в будущем. Как видите, на первый взгляд все выглядит очень просто.

    Но с самого начала нас смущала только одна мысль, а почему до этого не додумались еще лет 100 назад или хотя бы несколько десятилетий назад, когда появились компьютеры. Поэтому мы были уже как бы готовы к тому, что получится какая-нибудь фигня. Просто очень хотелось взглянуть на эту фигню самим. И оценить эту фигню непредвзятым глазом. Для непредвзятого взгляда мы даже не стали искать в Интернете никаких материалов по данной теме, чтобы они не повлияли на наше видение результата.

    В краце, результаты полученного АЧХ были следующими:

    1. Большая полоса белого шума со снижающейся амплитудой при увеличении частоты.
    2. На фоне полосы белого шума имеется нескольк более или менее четко выраженных пиков.
    3. Положение пиков на АЧХ и их выраженность непостоянны.
    4. Пики занимают то или иное положение в зависимости от того, какой временной интервал мы исследовали, как от длины интервала, так и от его расположения.
    5. Выраженность пиков также зависит от того, какой временной интервал мы исследовали, как от длины интервала, так и от его расположения.
    6. Пики вообще иогут на некоторых исследуемых интервалах исчезать.
    7. При последовательном изменении какого-нибудь интервала исследования можно наблюдать, как некоторые пики постепенно исчезат утонув в шуме, другие, наоборот, вылезают из шума.
    8. При последовательном изменении какого-нибудь интервала исследования можно наблюдать, как некоторые пики постепенно сливаются друг с другом, или, наоборот, какой-нибудь пик делится на два пика.

    Но самое плохое состояло в том, что мы не могли предсказать, как будут вести себя эти резононсные пики в будущем. Будет ли данный конкретный пик смещаться в область более высоких частот, если до этого он на данном конкретном фиксированном по длине интервале исследования смещался в область более высоких частот?

    Поэтому на основе простого Фурье-анализа невозможно сказать, что через столько-то биржевых дней валютная пара снова поведет себя так-то и так-то. В нестационарности процесса заключается главная причина фиаско метода Фурье для прогнозирования курса валют на бирже Forex.

    В целом, по поводу Фурье-разложения надо заметить следующее. Фурье-анализ хорошо работает там, где есть некоторая трансляционная симметрия процесса, в данном случае по времени. Даже, если просесс сильно утонул в случайных шумах, так что никакой периодичности на глаз почти не видно и/или исказился до неузнаваемости разного рода полиномиальными трендами, так что никакой периодичности в поведении снова не ощущается, все равно Фурье-анализ с высокой степенью отфильтрует все периодические составляющие этого процесса. В нашем случае можно сказать, что такие такие периодические тренды на валютной бирже Форекс присутствуют, но нестационарность приводит к тому, что амплитуда и период этих колебаний постоянно меняются. Мало того, сами эти колебательные тренды на бирже Forex могут зарождаться и уничтожаться. И этот процесс рождения и уничтожения новых колебаний происходит там постоянно.

    Итак, если Фурье-разложение хорошо работает для анализа функций с трансляционной симметрией, то как быть с функциями без трансляционной симметрии?

    В теории функционального анализа утверждается, что любую непрерывную квадратично интегрируемую на каком-то интервале функцию можно разложить на этом интервале в ряд по бесконечному набору линейно независимых ортонормированных функций. Для случая не непрерывной, а дискретной функции можно разложить в конечную сумму по конечному набору ортонормированных функций.

    Классический ряд Фурье это один из примеров такого разложения. Например, если на каком-то интервале у нас есть какая-то функция, которая описывает, скажем, колебания натянутой струны на этом интервале, то классическое разложение в ряд Фурье такой функции дает разложение амплитуды колебаний по гармоникам колебаний струны. У нас на интервале может укладываться только целое число полуволн синуса или косинуса (конкретно синус или косинус, это зависит от граничных условий). Интеграл от произведения любых двух несовпадающих гармоник равен нулю, то есть все гармоники ортогональны друг другу. Для дискретной функции (не непрерывная струна, а конечное число частиц) все то же самое, только разложение идет не по бесконечному ряду, а по конечной сумме, так как в такой системе у нас конечное число степеней свободы (конечное число гармоник).

    В зависимости от симметрии функции разложение может быть более удобным не по синусам и косинусам, а по другому ортонормированному набору функций. Например, функции с цилиндрической симметрией более удобно разлагать в ряд по набору функций Бесселя, а функции со сферической симметрией лучше разлагать в ряды по полиномам Лежандра и т.п. Все эти наборы ортонормированных функций являются собственными функциями операторов соответствующих симметрий. Например, синусы и косинусы это собственные функции трансляционного оператора d/dx.

    Вот эта вещь в дальнейшем оказалась для нас очень продуктивной. Надо разложить исторический временной ряд валютной пары по ортонормированному набору функций оператора эволюции данного ряда.

    www.nanoquant.ru