Найдите наибольший правила

Нахождение НОД по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители.

Эта статья про нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и большего количества чисел. Сначала рассмотрим алгоритм Евклида, он позволяет находить НОД двух чисел. После этого остановимся на методе, позволяющем вычислять НОД чисел как произведение их общих простых множителей. Дальше разберемся с нахождением наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел, а также приведем примеры вычисления НОД отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

В статье наибольший общий делитель (НОД), определение, примеры, свойства НОД мы сформулировали и доказали алгоритм Евклида. Алгоритм Евклида является универсальным способом, позволяющим вычислять наибольший общий делитель двух положительных целых чисел.

Напомним суть алгоритма Евклида. Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел a и b ( a и b – целые положительные числа, причем a больше или равно b ) последовательно выполняется деление с остатком, которое дает ряд равенств вида

Деление заканчивается, когда rk+1=0 , при этом rk=НОД(a, b) .

Рассмотрим примеры нахождения НОД по алгоритму Евклида.

Найдите наибольший общий делитель чисел 64 и 48 .

Воспользуемся алгоритмом Евклида. В этом примере a=64 , b=48 .

Делим 64 на 48 , получаем 64:48=1 (ост. 16) (при необходимости смотрите правила и примеры деления с остатком), что можно записать в виде равенства 64=48·1+16 , то есть, q1=1 , r1=16 .

Теперь делим b на r1 , то есть, 48 делим на 16 , получаем 48:16=3 , откуда имеем 48=16·3 . Здесь q2=3 , а r2=0 , так как 48 делится на 16 без остатка. Мы получили r2=0 , поэтому это был последний шаг алгоритма Евклида, и r1=16 является искомым наибольшим общим делителем чисел 64 и 48 .

Покажем решение еще одного примера, но теперь обойдемся без подробных пояснений шагов алгоритма Евклида.

Чему равен НОД чисел 111 и 432 ?

Из свойств наибольшего общего делителя мы знаем, что НОД(111, 432)=НОД(432, 111) . Воспользуемся алгоритмом Евклида для нахождения НОД(432, 111) .

Разделив 432 на 111 , получаем равенство 432=111·3+99 .

На следующем шаге делим 111 на 99 , имеем 111=99·1+12 .

Деление 99 на 12 дает равенство 99=12·8+3 .

А 12 на 3 делится без остатка и 12=3·4 . Поэтому это последний шаг алгоритма Евклида, и НОД(432, 111)=3 , следовательно, и искомый наибольший общий делитель чисел 111 и 432 равен 3 .

Для закрепления материала найдем с помощью алгоритма Евклида наибольший общий делитель чисел 661 и 113 .

Найдите НОД(661, 113) по алгоритму Евклида.

Выполняем деление: 661=113·5+96 ; 113=96·1+17 ; 96=17·5+11 ; 17=11·1+6 ; 11=6·1+5 ; 6=5·1+1 , наконец, 5=1·5 . Таким образом, НОД(661, 113)=1 , то есть, 661 и 113 – взаимно простые числа.

Заметим, что если бы мы с самого начала обратились к таблице простых чисел, то выяснили бы, что числа 661 и 113 – простые, откуда можно было бы сразу сказать, что их наибольший общий делитель равен 1 .

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Рассмотрим еще один способ нахождения НОД. Наибольший общий делитель может быть найден по разложениям чисел на простые множители. Сформулируем правило: НОД двух целых положительных чисел a и b равен произведению всех общих простых множителей, находящихся в разложениях чисел a и b на простые множители.

Приведем пример для пояснения правила нахождения НОД. Пусть нам известны разложения чисел 220 и 600 на простые множители, они имеют вид 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5 . Общими простыми множителями, участвующими в разложении чисел 220 и 600 , являются 2 , 2 и 5 . Следовательно, НОД(220, 600)=2·2·5=20 .

Таким образом, если разложить числа a и b на простые множители и найти произведение всех их общих множителей, то этим будет найден наибольший общий делитель чисел a и b .

Рассмотрим пример нахождения НОД по озвученному правилу.

Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96 .

Разложим на простые множители числа 72 и 96 :

То есть, 72=2·2·2·3·3 и 96=2·2·2·2·2·3 . Общими простыми множителями являются 2 , 2 , 2 и 3 . Таким образом, НОД(72, 96)=2·2·2·3=24 .

В заключение этого пункта заметим, что справедливость приведенного правила нахождения НОД следует из свойства наибольшего общего делителя, которое утверждает, что НОД(m·a1, m·b1)=m·НОД(a1, b1) , где m – любое целое положительное число.

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a1, a2, …, ak равен числу dk , которое находится при последовательном вычислении НОД(a1, a2)=d2 , НОД(d2, a3)=d3 , НОД(d3, a4)=d4 , …, НОД(dk-1, ak)=dk .

Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d2 двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d2=НОД(78, 294)=6 .

Теперь вычислим d3=НОД(d2, a3)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида: 570=6·95 , следовательно, d3=НОД(6, 570)=6 .

Осталось вычислить d4=НОД(d3, a4)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , то d4=НОД(6, 36)=6 .

Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d4=6 , то есть, НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 , 294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a и −a имеют одинаковые делители, о чем мы говорили при изучении свойств делимости.

Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140 .

Модуль числа −231 равен 231 , а модуль числа −140 равен 140 , и НОД(−231, −140)=НОД(231, 140) . Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства: 231=140·1+91 ; 140=91·1+49 ; 91=49·1+42 ; 49=42·1+7 и 42=7·6 . Следовательно, НОД(231, 140)=7 . Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел −231 и −140 равен 7 .

Определите НОД трех чисел −585 , 81 и −189 .

При нахождении наибольшего общего делителя отрицательные числа можно заменить их абсолютными величинами, то есть, НОД(−585, 81, −189)= НОД(585, 81, 189) . Разложения чисел 585 , 81 и 189 на простые множители имеют соответственно вид 585=3·3·5·13 , 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7 . Общими простыми множителями этих трех чисел являются 3 и 3 . Тогда НОД(585, 81, 189)=3·3=9 , следовательно, НОД(−585, 81, −189)=9 .

www.cleverstudents.ru

Наибольший общий делитель

Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.

Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.

Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.

Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

  • число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
  • число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .
  • Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.

    Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка.

    Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

    Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .

    Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ».

    Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел « a » и « b » — это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка.

    Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так:

    Пример: НОД (12; 36) = 12 .

    Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

    Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами.

    Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 .

    Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

    1. разложить делители чисел на простые множители;
    2. Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

      Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .

        Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.
        28 = 2 · 2 · 7

      64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
      Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
      НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

      Ответ: НОД (28; 64) = 4

    Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

    Первый способ записи НОД

    Найти НОД 48 и 36 .

    НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

    Второй способ записи НОД

    Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15 .

    На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

    math-prosto.ru

    Наибольший общий делитель (НОД)

    Решим задачу. У нас есть два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

    Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

    • 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
    • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
    • Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

      Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

      Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

      Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

      Определение наибольшего общего делителя

      • Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка два числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

      Иногда для сокращения записи используют аббревиатуру НОД.

      Некоторые пары чисел имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. Например, числа 24 и 35. Имеют НОД =1.

      Как найти наибольший общий делитель

      Для того чтобы найти наибольший общий делитель не обязательно выписывать все делители данных чисел.

      Можно поступить иначе. Сначала разложить на простые множители оба числа.

      Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

      Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

      Это правило можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

      www.nado5.ru

      7. Наименьшее общее кратное. Правила

      Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют
      наименьшее натуральное число, которое кратно и a , и b .

      Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных
      чисел, например 6 и 8 , надо:

      1) разложить их на простые множители;

      2 есть в разложении числа 6 ( вычеркиваем ее );

      2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

      3) домножить их на недостающие множители из разложений
      остальных чисел;

      НОК ( 6 и 8 ) = 24 .

      Найдем наименьшее общее кратное чисел 24 и 36:

      2 , 2 и 3 есть в разложении числа 24 ( вычеркиваем их );

      2) выпишем множители, входящие в разложение числа 24 ;

      3) домножим их на недостающий множитель из разложения числа 36 ;

      2 • 2 • 2 • 3 • 3 = 72;

      НОК ( 24 и 36 ) = 72 .

      Найдем наименьшее общее кратное чисел 30 и 42:

      1) разложим их на простые множители;

      2 и 3 есть в разложении числа 30 ( вычеркиваем их );

      2) выпишем множители, входящие в разложение числа 30 ;

      3) домножим их на недостающий множитель из разложения числа 42 ;

      4) найти произведение получившихся множителей.

      2 • 3 • 5 • 7 = 210;

      НОК ( 30 и 42 ) = 210 .

      Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные
      числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

      Например: у чисел 12 , 6 и 4 НОК = 12 .

      Задачи на тему «Наименьшее общее кратное»

      Выберите из предложенных вариантов наименьшее общее кратное чисел:

      1) 24 2) 48 3) 54 4) 72 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Неверно. НОК ( 12 и 24 ) =

      1) 24 2) 48 3) 72 4) 96 Неверно. Не кликай на пустое поле. НОК ( 14 и 21 ) =

      1) 28 2) 42 3) 56 4) 63 Неверно. Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. НОК ( 6 и 9 ) =

      1) 12 2) 18 3) 36 4) 54 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. НОК ( 81 и 243 ) =

      1) 243 2) 486 3) 729 4) 972 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. НОК ( 35 и 49 ) =

      1) 735 2) 490 3) 245 4) 140 Неверно. Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно.

      1) 24 2) 36 3) 48 4) 72 Неверно. Не кликай на пустое поле. НОК ( 4, 12 и 22 ) =

      1) 48 2) 132 3) 88 4) 110 Неверно. Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. НОК ( 9, 12 и 18 ) =

      1) 18 2) 36 3) 48 4) 72 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. НОК ( 5, 15 и 30 ) =

      1) 60 2) 30 3) 45 4) 90 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. НОК ( 7, 14 и 21 ) =

      1) 21 2) 42 3) 63 4) 84 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. НОК ( 12, 16 и 24 ) =

      1) 96 2) 72 3) 48 4) 32 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно.

      school-assistant.ru

      Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.

      НОД — это наибольший общий делитель.

      НОК — это наименьшее общее кратное.

      Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

      Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

      Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа, например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

      Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

      Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9, причем этот делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.

      Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

      Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Мы с вами рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

      Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

      Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

      12 : 1 = 12
      (12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

      12 : 2 = 6
      (12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

      12 : 3 = 4
      (12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

      12 : 4 = 3
      (12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

      12 : 5 = 2 (2 в остатке)
      (12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

      12 : 6 = 2
      (12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

      12 : 7 = 1 (5 в остатке)
      (12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

      12 : 8 = 1 (4 в остатке)
      (12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

      12 : 9 = 1 (3 в остатке)
      (12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

      12 : 10 = 1 (2 в остатке)
      (12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

      12 : 11 = 1 (1 в остатке)
      (12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

      12 : 12 = 1
      (12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

      Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

      9 : 1 = 9
      (9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

      9 : 2 = 4 (1 в остатке)
      (9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

      9 : 3 = 3
      (9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

      9 : 4 = 2 (1 в остатке)
      (9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

      9 : 5 = 1 (4 в остатке)
      (9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

      9 : 6 = 1 (3 в остатке)
      (9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

      9 : 7 = 1 (2 в остатке)
      (9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

      9 : 8 = 1 (1 в остатке)
      (9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

      9 : 9 = 1
      (9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

      Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

      Выписав делители, можно сразу определить, какой является наибольшим и общим.

      Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

      И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

      Значит НОД (12 и 9) = 3

      Второй способ нахождения НОД

      Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

      Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18

      Сначала разложим оба числа на простые множители:

      Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.

      Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:

      Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.

      Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.

      Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:

      Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:

      Значит НОД (24 и 18) = 6

      Третий способ нахождения НОД

      Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

      Например, найдём НОД для чисел 28 и 16 этим способом. В первую очередь, раскладываем эти числа на простые множители:

      Получили два разложения: и

      Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семерка. Её и вычеркнем из первого разложения:

      Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

      Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

      Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

      Раскладываем на множители число 100

      Раскладываем на множители число 40

      Получили два разложения:

      Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

      Перемножим оставшиеся числа:

      Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

      НОД (100 и 40) = 20.

      Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

      Раскладываем на множители число 72

      Раскладываем на множители число 128

      2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

      Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

      Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

      НОД (72 и 128) = 8

      Нахождение НОД для нескольких чисел

      Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

      Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36

      Разложим на множители число 18

      Получили три разложения:

      Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все три числа:

      Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

      Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

      НОД (18, 24 и 36) = 6

      Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

      Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих множителей этих чисел.

      Разложим на множители число 12

      Разложим на множители число 24

      Разложим на множители число 36

      Разложим на множители число 42

      Получили четыре разложения:

      Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все четыре числа:

      Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

      Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

      НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6

      Наименьшее общее кратное

      Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

      Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, при этом оно должно быть максимально маленьким.

      Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

      Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

      Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

      Из определения понятно, что НОК это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Этот НОК требуется найти.

      Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться двумя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

      В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9. Итак, начнём. Кратные будем выделять красным цветом:

      Теперь находим кратные для числа 12. Для этого, поочерёдно умножаем 12 на все числа 1 до 12:

      spacemath.xyz