Правила степени алгебра примеры

Возведение в степень, правила, примеры.

В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень. В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.

Навигация по странице.

Что значит «возведение в степень»?

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень

По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, . Таким образом, чтобы возвести число a в степень n нужно вычислить произведение вида .

Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Выполните возведение числа −2 в четвертую степень.

По определению степени числа с натуральным показателем имеем (−2) 4 =(−2)·(−2)·(−2)·(−2) . Осталось лишь выполнить умножение целых чисел: (−2)·(−2)·(−2)·(−2)=16 .

Найдите значение степени .

Данная степень равна произведению вида . Вспомнив, как выполняется умножение смешанных чисел, заканчиваем возведение в степень: .

.

Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим , а если взять , то возведение в степень даст .

Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например, , либо по возможности проводится преобразование выражения: .

В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени – это есть само число a , то есть, . Это есть частный случай формулы при n=1 .

Например, (−9) 1 =−9 , а число в первой степени равно .

Возведение в целую степень

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Переходим к возведению в нулевую степень. В статье степень с целым показателем мы выяснили, что нулевая степень числа a определяется для любого отличного от нуля действительного числа a , при этом a 0 =1 .

Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Например, 5 0 =1 , (−2,56) 0 =1 и , а 0 0 не определяется.

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем −z определяется как дробь вида . В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

Вычислите значение степени числа 3 с целым отрицательным показателем −2 .

По определению степени с целым отрицательным показателем имеем . Значение степени в знаменателе легко находится: 2 3 =2·2·2=8 . Таким образом, .

.

Найдите значение степени (1,43) −2 .

. Значение квадрата в знаменателе равно произведению 1,43·1,43 . Найдем его значение, выполнив умножение десятичных дробей столбиком:

Итак, . Запишем полученное число в виде обыкновенной дроби, умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 10 000 (при необходимости смотрите преобразование дробей), имеем .

На этом возведение в степень завершено.

.

В заключение этого пункта стоит отдельно остановиться на возведении в степень −1 . Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a . Действительно, . Например, 3 −1 =1/3 , и .

Возведение числа в дробную степень

Возведение числа в дробную степень базируется на определении степени с дробным показателем. Известно, что , где a – любое положительное число, m – целое, а n – натуральное число. Так возведение числа a в дробную степень m/n заменяется двумя действиями: возведением в целую степень (о чем мы говорили в предыдущем пункте) и извлечением корня n-ой степени.

На практике равенство на основании свойств корней обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Вычислите значение степени .

Покажем два способа решения.

Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .

Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень .

Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.

.

Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

Вычислите (44,89) 2,5 .

Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью перевод десятичных дробей в обыкновенные): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3 .

Возведение в иррациональную степень

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367. . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367. ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367. ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

www.cleverstudents.ru

Что такое степень числа

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Выражение 4 6 называют степенью числа, где:

  • 4 — основание степени;
  • 6 — показатель степени.
  • В общем виде степень с основанием « a » и показателем « n » записывается с помощью выражения:

    Степенью числа « a » с натуральным показателем « n », бóльшим 1 , называется произведение « n » одинаковых множителей, каждый из которых равен числу « a ».

    Запись « a n » читается так: « а в степени n » или « n -ая степень числа a ».

    Исключение составляют записи:

  • a 2 — её можно произносить как « а в квадрате»;
  • a 3 — её можно произносить как « а в кубе».
  • Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

  • a 2 — « а во второй степени»;
  • a 3 — « а в третьей степени».
  • Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0) .

    Степенью числа « а » с показателем n = 1 является само это число:
    a 1 = a

    Любое число в нулевой степени равно единице.
    a 0 = 1

    Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
    0 n = 0

    Единица в любой степени равна 1.
    1 n = 1

    Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.

    При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

    Пример. Возвести в степень.

  • 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
  • 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
  • (

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a 2 ≥ 0 при любом a .

  • 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
  • −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40
  • Обратите внимание!

    При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

    Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

    В то время как найти « −5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:

  • Возвести в четвёртую степень положительное число 5 .
    5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
  • Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
    −5 4 = −625
  • Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4

    1. 6 2 = 6 · 6 = 36
    2. −6 2 = −36
    3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
    4. −(−1) 4 = −1
    5. −36 − 1 = −37
    6. Порядок действий в примерах со степенями

      Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

      В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление , а в конце сложение и вычитание .

      Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

      Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

      Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».

      Свойства степени

      Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

      Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

      Свойство № 1
      Произведение степеней

      При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

      a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

      Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

      • Упростить выражение.
        b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
      • Представить в виде степени.
        6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
      • Представить в виде степени.
        (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
      • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

        Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2 ) на 3 5 . Это понятно, если
        посчитать (3 3 + 3 2 ) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

        Свойство № 2
        Частное степеней

        При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

      • Записать частное в виде степени
        (2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
      • Вычислить.

      = 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
      Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
      3 8 : t = 3 4

      Ответ: t = 3 4 = 81

      Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

      Пример. Упростить выражение.
      4 5m + 6 · 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

= 2 11 − 5 = 2 6 = 64

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (4 3 −4 2 ) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2 ) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Свойство № 3
Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(a n ) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

  • Пример.
    (a 4 ) 6 = a 4 · 6 = a 24
  • Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .
  • По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

    Свойства 4
    Степень произведения

    При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

    (a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

  • Пример 1.
    (6 · a 2 · b 3 · c ) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
  • Пример 2.
    (−x 2 · y) 6 = ( (−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6 ) = x 12 · y 6
  • Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

    (a n · b n )= (a · b) n

    То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
  • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

    Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

    Пример возведения в степень десятичной дроби.

    4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

    Свойства 5
    Степень частного (дроби)

    Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

    (a : b) n = a n : b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5 : 3) 12 = 5 12 : 3 12
  • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    math-prosto.ru

    7.1. Степень с натуральным показателем

    I. Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n-й степенью числа а и обозначается а n .

    Примеры. Записать произведение в виде степени.

    1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5·5·5·5·ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

    1) mmmm=m 4 , так как, по определению степени, произведение четырех сомножителей, каждый из которых равен m, будет четвертой степенью числа m.

    2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .

    II. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. Так, а n – степень, а – основание степени, n – показатель степени. Например:

    2 3 — это степень. Число 2 — основание степени, показатель степени равен 3. Значение степени 2 3 равно 8, так как 2 3 =2·2·2=8.

    Примеры. Написать следующие выражения без показателя степени.

    5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) a 3 -b 3 ; 8 ) 2a 4 +3b 2 .

    5) 4 3 =4·4·4; 6) a 3 b 2 c 3 =aaabbccc; 7) a 3 -b 3 =aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 =2aaaa+3bb.

    III. а 0 =1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Например, 25 0 =1.
    IV. а 1 =а Любое число в первой степени равно самому себе.

    V. a m a n =a m + n При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

    9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 ·b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

    Решение.

    9) a·a 3 ·a 7 =a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 ·b 3 =1+b 2+3 =1+b 5 ;

    11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 =1·c 2 ·c·c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

    VI. a m :a n =a m n При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    Примеры. Упростить:

    12) a 8 :a 3 ; 13) m 11 :m 4 ; 14) 5 6 :5 4 .

    12) a 8 :a 3 =a 8-3 =a 5 ; 13) m 11 :m 4 =m 11-4 =m 7 ; 14) 5 6 :5 4 =5 2 =5·5=25.

    VII. (a m ) n =a mn При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

    15) (a 3 ) 4 ; 16) (c 5 ) 2 .

    15) (a 3 ) 4 =a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5 ) 2 =c 5·2 =c 10 .

    Обратите внимание, что, так как от перестановки множителей произведение не меняется, то:

    15) (a 3 ) 4 =(a 4 ) 3 ; 16) (c 5 ) 2 =(c 2 ) 5 .

    VI II. (a∙b) n =a n ∙b n При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

    17) (2a 2 ) 5 ; 18) 0,2 6 ·5 6 ; 19) 0,25 2 ·40 2 .

    17) (2a 2 ) 5 =2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 ·5 6 =(0,2·5) 6 =1 6 =1;

    19) 0,25 2 ·40 2 =(0,25·40) 2 =10 2 =100.


    IX. При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

    www.mathematics-repetition.com