Правила з алгебри 7 клас

Правила з алгебри 7 клас

I. Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Пример 1. Умножить одночлен на многочлен: 2a·(4a 2 -0,5ab+5a 3 ).

Решение. Одночлен будем умножать на каждый одночлен многочлена:

2a·(4a 2 -0,5ab+5a 3 )=2a∙4a 2 +2a∙(-0,5ab)+2a∙5a 3 =8a 3 -a 2 b+10a 4 . Запишем полученный многочлен в стандартном виде:

10a 4 +8a 3 -a 2 b.

Пример 2. Умножить многочлен на одночлен: (3xyz 5 -4,5x 2 y+6xy 3 +2,5y 2 z)∙(-0,4x 3 ).

Решение. Каждое слагаемое, стоящее в скобках, умножаем на одночлен (-0,4x 3 ).

(3xyz 5 -4,5x 2 y+6xy 3 +2,5y 2 z)∙(-0,4x 3 )=

=3xyz 5 ∙(-0,4x 3 ) -4,5x 2 y∙(-0,4x 3 )+6xy 3 ∙(-0,4x 3 )+2,5y 2 z∙(-0,4x 3 )=

=-1,2x 4 yz 5 +1,8x 5 y-2,4x 4 y 3 -x 3 y 2 z.

II. Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители.

III. Вынесение общего множителя за скобки – простейший способ разложения многочлена на множители.

Пример 3. Разложить на множители многочлен: 5a 3 +25ab-30a 2 .

Решение. Вынесем общий множитель всех членов многочлена за скобки. Это одночлен , потому что на делится каждый из членов данного многочлена. Итак, мы запишем перед скобками, а в скобках запишем частные от деления каждого одночлена на .

5a 3 +25ab-30a 2 =5a·(a 2 +5b-6a). Проверяем себя: если мы умножим на многочлен в скобках a 2 +5b-6a, то получим данный многочлен 5a 3 +25ab-30a 2 .

Пример 4.Вынесите общий множитель за скобки: (x+2y) 2 -4·(x+2y).

Решение. (x+2y) 2 -4·(x+2y)=(x+2y)(x+2y-4).

Общим множителем здесь являлся двучлен (х+2у). Мы вынесли его за скобки, а в скобках записали частные от деления данных членов (x+2y) 2 и -4·(x+2y) на их общий делитель

(х+2у). В результате мы представили данный многочлен в виде произведения двух многочленов (x+2y) и (x+2y-4), другими словами, мы разложили многочлен (x+2y) 2 -4·(x+2y) на множители. Ответ: (x+2y)(x+2y-4).

IV. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и записать полученные произведения в виде суммы одночленов. При необходимости привести подобные слагаемые.

Пример 5. Выполнить умножение многочленов: (4x 2 -6xy+9y 2 )(2x+3y).

Решение. По правилу мы должны каждый член первого многочлена (4x 2 -6xy+9y 2 ) умножить на каждый член второго многочлена (2x+3y). Чтобы не запутаться, делайте всегда так: сначала умножьте каждый член первого многочлена на 2х, потом опять каждый член первого многочлена умножайте на 3у.

(4x 2 -6xy+9y 2 )( 2x +3y )=4x 2 ∙ 2x -6xy∙ 2x +9y 2 ∙ 2x +4x 2 ∙ 3y -6xy∙ 3y +9y 2 ∙ 3y =

=8x 3 -12x 2 y+18xy 2 +12x 2 y-18xy 2 +27y 3 =8x 3 +27y 3 .

Подобные слагаемые -12x 2 y и 12x 2 y, а также 18xy 2 и -18xy 2 оказались противоположными, их суммы равны нулю.

Ответ: 8x 3 +27y 3 .

7.2.2.Многочлен

I. Сумма одночленов называется многочленом. Одночлены, из которых составлен многочлен, называются членами многочлена.

Например, многочлен 2a+3a 2 b-6b 4 +3,5a 3 b состоит из суммы четырех одночленов.

II. Двучлен – это многочлен, состоящий из двух членов (одночленов).

Примеры двучленов: 2a-3b; 6x 2 +5; 2x-1.

III. Трехчлен – это многочлен, состоящий из трех членов (одночленов).

Например, 2а+3с-х или x 2 +4x-5 — трехчлены, так как состоят из трех одночленов.

IV. Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, многочлен 2a 2 -3b+abc-d 2 имеет третью степень, так как наибольшей степенью входящих в него одночленов является третья степень одночлена abc (складываем показатели: 1+1+1=3).

Многочлен 4x 4 yz+2x 2 y 3 -xz 4 +3x 2 y 2 имеет шестую степень, так как наибольшей (шестой) степенью является степень его члена 4x 4 yz (складываем показатели: 4+1+1=6).

V. Многочлен стандартного вида не содержит подобных членов и записан в порядке убывания степеней его членов.

Например, приведенный выше многочлен 4x 4 yz+2x 2 y 3 -xz 4 +3x 2 y 2 является многочленом стандартного вида, так как записан в порядке убывания степеней его членов.

Пример 1. Упростить многочлен, записав каждый его член в стандартном виде: 4aabb∙(-0,5c 2 )+5a 2 bb 3 -6abcab 2 c.

4aabb∙(-0,5c 2 )+5a 2 bb 3 -6abcab 2 c=-2a 2 b 2 c 2 +5a 2 b 4 -6a 2 b 3 c 2 , а теперь запишем этот многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней его членов):

-6a 2 b 3 c 2 -2a 2 b 2 c 2 +5a 2 b 4 .

Пример 2. Вычислить значение многочлена 5y 2 -3xy+x 2 при x=-1, y=2.

5y 2 -3xy+x 2 =5∙2 2 -3∙(-1)∙2+(-1) 2 =5∙4+6+1=27.

Пример 3. Упростить многочлен 2aba-a 3 bb+7bbbb и найти его числовое значение при a=3, b=2.

Решение.

Упрощаем многочлен: 2aba-a 3 bb+7bbbb=2a 2 b-a 3 b 2 +7b 4 .

Подставляем значения a и b.

2a 2 b-a 3 b 2 +7b 4 =2∙3 2 ∙2-3 3 ∙2 2 +7∙2 4 =2∙9∙2-27∙4+7∙16=36-108+112=40.

Пример 4. Привести подобные члены многочлена:

Пример 5. Привести к стандартному виду многочлен:

Напоминание: подобными считают одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть.

7.2.1. Одночлен.

I. Выражения, которые составлены из чисел, переменных и их степеней, при помощи действия умножения называются одночленами.

Примеры одночленов:

а) a; б) ab; в) 12; г) -3c; д) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; е) -123,45xy 5 z; ж) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3 ).

II. Такой вид одночлена, когда на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а за ним переменные с их степенями, называют стандартным видом одночлена.

Так, одночлены, приведенные выше, под буквами а), б), в), г) и е) записаны в стандартном виде, а одночлены под буквами д) и ж) требуется привести к стандартному виду, т. е. к такому виду, когда на первом месте стоит числовой множитель, а за ним записывают буквенные множители с их показателями, причем, буквенные множители стоят в алфавитном порядке. Приведем одночлены д) и ж) к стандартному виду.

д) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 =2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 =-85,75a 2 b 3 ;

ж) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3 )=-8∙2,5∙3a 3 c 3 =-60a 3 c 3 .

III. Сумму показателей степеней всех переменных, входящих в состав одночлена, называют степенью одночлена.

Примеры. Какую степень имеют одночлены а) — ж)?

а) a. Первую;

б) ab. Вторую: а в первой степени и b в первой степени-сумма показателей 1+1=2;

в) 12. Нулевую, так как буквенных множителей нет;

г) -3c. Первую;

д) -85,75a 2 b 3 . Пятую. Мы привели этот одночлен к стандартному виду, имеем а во второй степени и b в третьей. Складываем показатели: 2+3=5;

е) -123,45xy 5 z. Седьмую. Сложили показатели степеней буквенных множителей: 1+5+1=7;

ж) -60a 3 c 3 . Шестую, так как сумма показателей буквенных множителей 3+3=6.

IV. Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными одночленами.

Пример. Указать подобные одночлены среди данных одночленов 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y.

Приведем одночлены 1), 4) и 5) к стандартному виду. Тогда строчка данных одночленов будет выглядеть так:

1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 bc; 5) 10a 4 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y.

Подобными будут те, которые имеют одинаковую буквенную часть, т.е. 1) и 3) ; 2) и 4) ; 5) и 6).

1) 3a 2 b 2 c и 3) 56a 2 b 2 c;

2) -4,1a 3 bc и 4) 98,7a 3 bc;

5) 10a 4 x и 6) -2,3a 4 x.

7.1.2. Стандартный вид числа

Очень большие и очень малые числа принято записывать в стандартном виде: a∙10 n , где 1≤а 2 ; 123456=1,23456∙10 5 ; 0,000345=3,45∙10 -4 .

Примеры.

Записать в стандартном виде число: 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.

Решение.

1) 40503=4,0503·10 4 ;

2) 0,0023=2,3∙10 -3 ;

3) 876,1=8,761∙10 2 ;

4) 0,0000067=6,7∙10 -6 .

Еще примеры на стандартный вид числа.

5) Число молекул газа в 1 см 3 при 0°С и давлении 760 мм.рс.ст равно

27 000 000 000 000 000 000. Записать это число в стандартном виде.

27 000 000 000 000 000 000=2,7∙10 19 .

6) 1 парсек (единица длины в астрономии) равен 30 800 000 000 000 км. Записать это число в стандартном виде.

1 парсек=30 800 000 000 000=3,08∙10 13 км.

В тему:

Киловатт-час — это внесистемная единица энергии или работы, применяется в электротехнике, обозначается кВт·ч.

1 кВт·ч=3,6∙10 6 Дж (Джоулей).

7.1.1. Степень с целым показателем

I. Определение. (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:

Примеры. Вычислить:

II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:

Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степеней с любым показателем.

Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.

Примеры на все свойства степени.

Упростить:

При решении 7) примера I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями: a m ∙a n =a m+n и a m :a n =a m-n . При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем: и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: a m ∙a n =a m+n .

Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.

В примере 9) представим 7 3 как 7 2 ∙7, а степень 4 5 как 4 3 ∙4 2 , а затем сократим дробь на (7 2 ∙4 3 ).

В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab) n =a n b n , а затем сократим дробь на (2 6 ∙3 5 ).

7.1. Степень с натуральным показателем

I. Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n-й степенью числа а и обозначается а n .

Примеры. Записать произведение в виде степени.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5·5·5·5·ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

1) mmmm=m 4 , так как, по определению степени, произведение четырех сомножителей, каждый из которых равен m, будет четвертой степенью числа m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .

II. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. Так, а n – степень, а – основание степени, n – показатель степени. Например:

2 3 — это степень. Число 2 — основание степени, показатель степени равен 3. Значение степени 2 3 равно 8, так как 2 3 =2·2·2=8.

Примеры. Написать следующие выражения без показателя степени.

5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) a 3 -b 3 ; 8 ) 2a 4 +3b 2 .

5) 4 3 =4·4·4; 6) a 3 b 2 c 3 =aaabbccc; 7) a 3 -b 3 =aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 =2aaaa+3bb.

III. а 0 =1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Например, 25 0 =1.
IV. а 1 =а Любое число в первой степени равно самому себе.

V. a m a n =a m + n При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

Примеры. Упростить:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 ·b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

9) a·a 3 ·a 7 =a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 ·b 3 =1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 =1·c 2 ·c·c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. a m :a n =a m n При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

12) a 8 :a 3 ; 13) m 11 :m 4 ; 14) 5 6 :5 4 .

12) a 8 :a 3 =a 8-3 =a 5 ; 13) m 11 :m 4 =m 11-4 =m 7 ; 14) 5 6 :5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (a m ) n =a mn При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

15) (a 3 ) 4 ; 16) (c 5 ) 2 .

15) (a 3 ) 4 =a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5 ) 2 =c 5·2 =c 10 .

Обратите внимание, что, так как от перестановки множителей произведение не меняется, то:

15) (a 3 ) 4 =(a 4 ) 3 ; 16) (c 5 ) 2 =(c 2 ) 5 .

VI II. (a∙b) n =a n ∙b n При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

17) (2a 2 ) 5 ; 18) 0,2 6 ·5 6 ; 19) 0,25 2 ·40 2 .

17) (2a 2 ) 5 =2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 ·5 6 =(0,2·5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 ·40 2 =(0,25·40) 2 =10 2 =100.


IX. При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

7.2.6. Кубическая функция

Функцию вида y=x 3 называют кубической функцией. Графиком кубической функции является кубическая парабола, проходящая через начало координат. Ветви кубической параболы y=x 3 находятся в I и III четвертях.

Построение графика кубической функции y=x 3

Составим таблицу значений функции y=x 3 для х=0, х=±1, х=±2.

0 | 0³=0 Точка О (0; 0)

1 | 1³=1 Точка А (1; 1)

-1 | (-1)³=-1 Точка С (-1; -1)

2 | 2³=8 Точка В (2; 8 )

-2 | (-2)³=-8 Точка D (-2; -8)

7.2.5. Квадратная функция

Функцию вида y=x 2 называют квадратной функцией. Графиком квадратной функции является парабола с вершиной в начале координат. Ветви параболы y=x 2 направлены вверх.

Построение графика функции y=x 2 . Составим таблицу значений функции для х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

х | y=x²

0 | 0²=0

1 | 1²=1 Точка А (1; 1)

-1 | (-1)²=1 Точка А 1 (-1; 1)

2 | 2²=4 Точка В (2; 4)

-2 | (-2)²=4 Точка В1 (-2; 4)

3 | 3²=9 Точка С (3; 9)

-3 | (-3)²=9 Точка С1 (-3; 9)

7.3.1. Примеры для закрепления формул сокращенного умножения

style=»display:inline-block;width:336px;height:280px»
data-ad-client=»ca-pub-8602906481123293″
data-ad-slot=»2890988705″>

1) Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

a) ( x + 2y ) 2 = x 2 + 2 ·x · 2y + ( 2y ) 2 = x 2 + 4xy + 4y 2

б) ( 2k + 3n ) 2 = ( 2k ) 2 + 2· 2k ·3n + ( 3n ) 2 = 4k 2 + 12kn + 9n 2

2) Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2

а) ( 2a – c ) 2 = (2a ) 2 -2· 2a ·c + c 2 = 4a 2 – 4ac + c 2

б) ( 3a – 5b ) 2 = ( 3a ) 2 -2· 3a · 5b + ( 5b ) 2 = 9a 2 – 30ab + 25b 2

3) Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

a 2 –b 2 = (a–b)(a+b)

a) 9x 2 – 16y 2 = ( 3x ) 2 – (4y ) 2 = ( 3x – 4y )( 3x + 4y )

б) ( 6k – 5n)( 6k + 5n) = ( 6k ) 2 – (5n) 2 = 36k 2 – 25n 2

4) Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

a) ( m + 2n ) 3 = m 3 + 3 ·m 2 · 2n + 3 ·m ·( 2n ) 2 + (2n ) 3 = m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3

б) ( 3x + 2y ) 3 = ( 3x ) 3 + 3· (3x) 2 ·2y + 3· 3x · (2y) 2 + ( 2y ) 3 = 27x 3 + 54x 2 y + 36xy 2 + 8y 3

5) Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

а) ( 2x – y ) 3 = ( 2x ) 3 -3·( 2x ) 2 · y + 3· 2x · y 2 – y 3 = 8x 3 – 12x 2 y + 6xy 2 – y 3

б) ( x – 3n ) 3 = x 3 -3· x 2 · 3n + 3· x ·( 3n ) 2 – ( 3n ) 3 = x 3 – 9x 2 n + 27xn 2 – 27n 3

6) Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 –ab+b 2 )

a) 125 + 8x 3 = 5 3 + ( 2x ) 3 = ( 5 + 2x )( 5 2 — 5 · 2x + ( 2x ) 2 ) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x 2 )

б) (1 + 3m)(1 – 3m + 9m 2 ) = 1 3 + (3m) 3 = 1 + 27m 3

7) Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2 )

а) 64с 3 – 8 = ( 4с ) 3 – 2 3 = ( 4с – 2 )(( 4с ) 2 + 4с · 2 + 2 2 ) = (4с – 2)(16с 2 + 8с + 4)

б ) (3a – 5b)(9a 2 + 15ab + 25b 2 ) = (3a) 3 – (5b) 3 = 27a 3 – 125b 3

Дорогие друзья! Карта сайта поможет вам выбрать нужную тему.

www.mathematics-repetition.com

Репетитор по математике 7 класс

Предлагаю Вам новый раздел со справочной, учебно-методической и разъяснительно-рекомендательной информацией, связанной с запросом репетитор по математике 7 класс. Также здесь будут публиковаться мои заметки об особенностях работы с маленькими учениками (пока отдельные части этой страницы находятся в стадии доработки).

Меня всегда интересовало, зачем в поисковых строчках яндекса или гугла к главной фразе репетитор по математике приписывают еще и 7 класс? Можно подумать, что есть такие репетиторы, которые работают только семиклассниками и больше ни с какими другими возрастами. Да, математика 7 класса – это особый этап освоения предмета, с весьма своеобразными подходами к обучению, отличие которых от работы со старшеклассниками видят все, в том числе и преподаватели, которые в силу своего образования таковыми не являются. Но одно дело — чувствовать эту разницу, а другое дело – уметь следовать заложенным в программе 7 класса морально-методическим принципам. Видимо те немногие родители, кого интересует выбор репетитора по математике в 7 классе, осознают всю сложность работы с возрастом 12-13 лет и пытаются получить ответы на какие-то поисковые вопросы. Эта страница как раз для таких мам и пап.

Оценивая потребность в информационной поддержке сочетания «репетитор по математике» в паре с «7 классом», я решил изменить традициям и создать практическую страничку, на которой можно было бы соединить дидактический и методический раздел с заданиями и инструкциями по работе преподавателя в 7 классе. Это тесты, перечень тем, изучаемых семиклассниками по разным программам, советы репетитору по работе с математикой 7 класса, родителям по «уходу» за школьниками в младшем и среднем возрасте и др. Читайте, решайте, оценивайте себя или своего ребенка, его репетитора / школьного преподавателя и обращайтесь за помощью в случае необходимости.

Полезные материалы по математике для 7 класса от репетитора

Мой тест по алгебре за 7 класс (повышенной сложности):

Тест за 7 класс по алгебре (учебник Макарычева)

Если Вы занимались какое-то время с учеником 7 класса самостоятельно или нанимали ему преподавателя, то наверняка знаете, как тяжело запрягать новую телегу под названием «геометрия». Далеко не всем профессиональным репетиторам по математике удается в 7 классе растолковать маленькому ученику азы этого весьма специфического предмета. Чрезвычайно трудно понять логику доказательства простых и очевидных фактов, тех, которые видны невооруженным глазом и понятны без лишних слов. Тем не менее, репетитор по математике должен довести технику до полного ее осознания и принятия. Пожалуй, это главная проблема, с которой приходится сталкиваться репетитору. Я решаю ее через сочетание целого ряда методов и упражнений, направленных не только на разъяснение новых принципов, но и на запоминание типичных для ранней геометрии логических переходов.

Как мне кажется, правильная работа репетитора по математике с 7 классом по геометрии в самом начале ее изучения должна быть направлена запоминание наиболее часто используемых образцов записей, стандартных схем и даже результатов некоторых обосновании. Она позволяет сформировать у ученика ощущение близости новых для него форм и методов. Дело в том, что ребенок понимает и принимает в свой мир только то, что хорошо помнит и с чем регулярно приходится сталкиваться в жизни. А запоминает то, что его окружает с утра до вечера, в чем он живет.

Конечно, наивно предполагать, что репетитору по математике в 7 классе удастся погрузить подопечного в планиметрию «на полную катушку», но максимально заполнить мир новыми понятиями и заданиями необходимо. Именно с таким расчетом подбираются упражнения, способные притянуть школьника, а не отбросить его от предмета. При наделении меня достаточным количеством временем на начальном этапе изучения геометрии я предлагаю своему подопечному множество заданий развивающего вводного плана (переходного типа), для выполнения которых нужно просто что-то нарисовать, перечислить изображенные объекты, обозначить их, сравнить их размеры, сопоставить рисунки с их символикой. Идет отработка таких понятий, как пересечение, принадлежность, уяснение обозначений и относительного расположения нескольких объектов по отношению друг другу. Надо сказать, что чем проще задание, тем сложнее его разрабатывать, подбирать и оформлять. Важно провести работу над запоминанием терминов, ибо математическая речь, которой владеет Ваш репетитор математике 7 класс, для ученика может оказаться не соответствующей его словарному запасу и смысловой привязке к определенным картинкам.

Терминологическая работа чрезвычайно важна, ибо аккуратные с точки зрения точной математики разъяснения репетитора в 7 классе кажутся детям чем-то космически далеким и непонятным. Однако не стоит увлекаться терминами и не стоит превращать занятия в уроки рисования, ибо суть геометрии в ином.

Проблем с математикой 7 класса хватит на целый сайт, и нет смысла перечислять их все на этой странице.

Отличия между программами по математике 5 — 6 класса и 7 класса?

Преподавание математики в 7 классе принципиально отличается от аналогичной работы в 5 классе и даже в недавно оконченном 6 классе. Главным образом это связано с разделением предмета на геометрию (планиметрию) и алгебру, а также необходимостью заниматься формированием некоего универсального инструмента для решения практических, текстовых или геометрических задач в будущем. Речь идут об умении решать уравнения, а позже и неравенства. Поэтому все усилия репетитора по математике в работе с курсом алгебры 7 класса направляются на изучение буквенных выражений. Некоторых детей это сильно ломает, так как за годы учебы в 5 — 6 классах они привыкают к определенным схемам и правилам изучения математики: а именно к работе с отдельными числами и отдельными арифметическими действиями. В 7 классе репетитор пытается заставить ребенка по-иному взглянуть на буквенные записи и научить оценивать результаты вычислений без их непосредственного выполнения. Например, нужно догадаться, что ни одно число не является корнем уравнения . Заметим, что 6 классе репетитору не приходится разбирать все варианты ответов линейный уравнений.

Есть несколько качеств и профессиональных навыков, которыми должен обладать преподаватель, работающий с семиклассниками.
Репетитор по математике 7 класс – это:

1) Преподаватель, способный грамотно спланировать разделение уроков на алгебру геометрию

2) Репетитор — методист, ориентирующийся сразу в нескольких программах за 7 класс
Учебников для семиклассников больше чем для шестиклассников. Чего стоит перечисление одних только популярных базовых программ: Мордкович ,Алимов, Макарычев. А еще экспериментальные и профильные курсы. Недавно вышел учебник Петерсона для 7 класса. Репетитор по математике обязан знать и уметь работать с их темами именно в том порядке, в котором они расположены, ибо ученик может придти какой угодно.

3) Репетитор – психолог.
В 7 классе дети вплотную подходят к тяжелому переходному возрасту 14-15 лет. Не исключены ранние конфликты на почве учебы с родителями и учителями. Репетитор, обладающий определенными психологическими знаниями и способностью убедить ребенка в том, что нужно учиться, как правило, добивается хороших результатов даже в работе с трудными подростками.

Существует целый рад принципиальных изменений при переходе от программ 5 — 6 класса к 7 классу. Вот они:

1) Изменение подходов к решению текстовых задач. Если шестиклассники сочетают арифметические действия с уравнениями (в примерном соотношении 1:1), то в 7 классе для решения текстовых задач используются только одни уравнения. В 8 — 9 классе они будут только усложняться, в связи с чем на репетитора по математике сваливается работа по изучению одночленов и многочленов во всех мыслимых и немыслимых сочетаниях степеней, слагаемых, скобок и алгебраических действий.

2) Резкое снижение доли практических задач в 7 классе. Это является следствием заполнения программы заданиями, направленными на формирования алгебраической базы школьника.

3) Полное обоснование используемых теорем, тождеств, выводов и алгоритмов. Никогда ранее ученик не сталкивался с таой математикой. Для того, чтобы репетитор в 7 классе не испытывал с учеников проблем с доказательствами (выводами), необходима подготовка их восприятию на материале олимпиадных задач для 5 — 6 класса определенного вида. Они имеются копилке материалов любого хорошего репетитора.

4) Ведение целого ряда новых фундаментальных понятий, таких как функция, тождество, система уравнений и др. В геометрии их еще больше.

5) Увеличение объема записей в тетрадях (по геометрии) и количества типовых заданий (по алгебре). Следствием этого является увеличение физической нагрузки ученика. Она может привести к первым протестам и конфликтам с репетитором по математике и родителями.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике для 7 класса.

Сайт то интересный, но я надеялась, что будет объяснение непонятных мне тем по алгебре за 7 класс.

А откуда репетитор по математике знает, какие темы не понимает отдельно взятый посетитель сайта? Для качественного изложения тем и точных пояснений надо иметь полное представление об объеме усвоенной информации, а также скорости и типе мышления слушателя. Без контакта с учеником виртуально активные репетиторы по математике смогут только показывать задачи выборочно и отвечать на вполне конкретные вопросы. Если дела с математикой неважные — советую нанять толкового репетитора для реальных (и регулярных) занятий.

Здравствуйте. не могли бы Вы «поделиться» заданиями повышенной сложности (не олимпиады) по алгебре и геометрии за 7 класс. Сын учиться в сильной гимназии, чтобы тренироваться материала не хватает. А всплывают нетиповые задания только на самостоятельных или контрольных. Спасибо. Если есть методичка или сборник готовы приобрести за денежное вознаграждение. Спасибо.

Можно воспользоваться материалами Ершовой и Голобородько. Вариант «В» как раз усложненный, но не олимпиадный. На самом деле подбор разнообразных содержательных задач для 7 класса — большая проблема, ибо истинная математики только набирает высоту и дети еще многого не знают. Поэтому составители таких упражнений сильно ограничены в средствах. Я уже давно сам составляю задания для 7 класса под конкретных учеников, что позволяет репетитору в 80-90% случаев работать автономно. А когда попадаются интересные задачки — заношу их в свою базу.

ankolpakov.ru