Правило когда умножают на ноль

Правило когда умножают на ноль

Согласно общепринятому определению, ноль — это число, отделяющее положительные числа от отрицательных на числовой прямой. Ноль — это самое проблематичное место в математике, которое не подчиняется логике, а все математические действия с нулём основаны не на логике, а на общепринятых определениях.

Первый пример проблематичности нуля — это натуральные числа. В русских школах ноль не является натуральным числом, в других школах ноль является натуральным числом. Поскольку понятие «натуральные числа» — это искусственное отделение некоторых чисел от всех остальных чисел по определённым признакам, то математического доказательства натуральности или не натуральности нуля быть не может. Ноль считается нейтральным элементом по отношению операций сложения и вычитания.

Ноль считается целым, беззнаковым числом. Также ноль считается чётным числом, поскольку при делении нуля на 2 получается целое число ноль.

Ноль является первой цифрой во всех стандартных системах счисления. В позиционных системах счисления, к которым принадлежит привычная нам десятичная система счисления, цифрой ноль обозначают отсутствие значения данного разряда при записи числа. Индейцы майя использовали ноль в принятой у них двенадцатиричной системе счисления за тысячу лет до индийских математиков. С нулевого дня в календаре майя начинался каждый месяц. Интересно, что тем же самым знаком ноль математики майя обозначали и бесконечность — вторую проблему современной математики.

Слово «ноль» в арабском языке звучит как «сыфр». От арабского слова ноль (сыфр) произошло слово «цифра».

Как правильно пишется — ноль или нуль? Слова ноль и нуль совпадают в значении, но различаются употреблением. Как правило, ноль употребляется в обиходной речи и в ряде устойчивых сочетаний, нуль — в терминологии, в научной речи. Правильными будут оба варианта написания этого слова. Например: Деление на ноль. Ноль целых. Ноль внимания. Ноль без палочки. Абсолютный нуль. Ноль целых пять десятых.

В грамматике производные слова от слов ноль и нуль пишутся так: нолевой или нулевой, нолик или нулик, ноля или нуля, нулевой или реже встречающееся нолевой, ноль-ноль. Например: Ниже нуля. Равно нулю. Свести к нулю. Нулевой мередиан. Нулевой пробег. В двенадцать ноль-ноль.

В математических действиях с нулем на сегодняшний день определены следующие результаты:

сложение — если к любому числу прибавить ноль, число останется неизменным; если к нулю прибавить любое число результатом сложения будет то же самое любое число:

вычитание — если из любого числа вычесть ноль, число останется неизменным; если из нуля вычесть любое число в результате получится то же самое любое число с противоположным знаком:

умножение — если любое число умножить на ноль, результатом будет ноль; если ноль умножить на любое число в результате получится ноль:

деление — деление на ноль запрещено, поскольку результат не существует; общепринятый взгляд на проблему деления на ноль изложен в работе Александра Сергеева «Почему нельзя делить на ноль?» ; для любознательных написана другая статья, в которой рассматривается возможность деления на ноль:

a : 0 = делить на ноль запрещено, при этом а не равно нулю

ноль разделить на ноль — выражение не имеет смысла, так как не может быть определено:

0 : 0 = выражение не имеет смысла

ноль разделить на число — если ноль разделить на число в результате всегда будет ноль, не зависимо от того, какое число находится в знаменателе (исключением из этого правила является число ноль, смотри выше):

0 : a = 0, при этом а не равно нулю

ноль в степениноль в любой степени равен нулю:

0 a = 0, при этом а не равно нулю

возведение в степень — любое число в степени ноль равняется единице (число в степени 0):

a 0 = 1, при этом а не равно нулю

ноль в степени ноль — выражение не имеет смысла, так как не может быть определено (ноль в нулевой степени, 0 в степени 0):

0 0 = выражение не имеет смысла

извлечение корня — корень любой степени из нуля равен нулю:

0 1/a = 0, при этом а не равно нулю

факториал — факториал нуля, или ноль факториал, равняется единице:

распределение цифр — при подсчете распределения цифр ноль считается незначащей цифрой. Изменение подхода в правилах подсчета распределения цифр, когда ноль считается ЗНАЧАЩЕЙ цифрой позволит получать более точные результаты распределения цифр во всех стандартных системах счисления, в том числе в двоичной системе счисления.

Кому интересен вопрос возникновения нуля, предлагаю прочесть статью «История нуля» Дж. Дж. О’Коннора и Е. Ф. Робертсона в переводе И. Ю. Осмоловского.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

Теперь маленький кусочек рекламы.Главная фильтры для воды помогут очистить воду и сделать её более безопасной для питья. Качество водопроводной воды сегодня не отвечает требованиям безопасности для здоровья человека. Применение фильтров для воды становится потребностью в каждом доме.

Создание сайта цены, изготовление сайта Москва. Создание и изготовление сайта пр. Мира. поможет вам обрести свое представительство в виртуальном мире. Красивые и функциональные сайты для самых разных нужд, создание сайта под ваши потребности.

Специальный проект «45 минут» организовывает постоянные конкурсы для педагогов по разным учебным дисциплинам. Создание собственных страничек, портфолио учителей, обмен педагогическим опытом, подготовка к экзаменам.

30 августа 2010 года — 28 февраля 2017 года.

ndspaces.narod.ru

Правильно ли мы понимаем умножение?

«- А и Б сидели на трубе. А упало, Б пропало, что осталось на трубе?
— Осталась ваша буква И».

(Из к/ф «Отроки во Вселенной»)

Почему при умножении числа на ноль получается ноль?

Почему при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число?

Что только не придумывают педагоги, чтобы дать ответы на эти два вопроса.

Но никому не хватает смелости признать, что в формулировке умножения три смысловые ошибки!

Возможны ли ошибки в основах арифметики? Ведь математика позиционирует себя точной наукой.

Школьные учебники математики не дают ответов на эти вопросы, заменяя объяснения набором правил, которые нужно запомнить. Может быть считают эту тему трудной для объяснения в средних классах школы? Попробуем разобраться в этих вопросах.

7 — множимое. 3 — множитель. 21- произведение.

По официальной формулировке:

  • умножить число на другое число — значит сложить столько множимых, сколько предписывает множитель.

По принятой формулировке множитель 3 говорит нам о том, что в правой части равенства должно быть три семерки.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Но эта формулировка умножения не может объяснить поставленные выше вопросы.

Исправим формулировку умножения

Обычно в математике многое имеют в виду, но об этом не говорят и не записывают.

Имеется в виду знак плюс перед первой семеркой в правой части равенства. Запишем этот плюс.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Но к чему прибавляется первая семерка. Имеется в виду, что к нулю, разумеется. Запишем и ноль.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

А если мы будем умножать на три минус семь?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

Мы записываем сложение множимого -7, на самом деле мы производим многократное вычитание из нуля. Раскроем скобки.

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

Теперь можно дать уточненную формулировку умножения.

  • Умножение — это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля) множимого (-7) столько раз, сколько указывает множитель. Множитель (3) и его знак (+ или -) указывает количество операций прибавления к нулю или вычитания из нуля.
  • По этой уточненной и несколько измененной формулировке умножения легко объясняются «правила знаков» при умножении, когда множитель отрицательный.

    7 * (-3) — должно быть после нуля три знака «минус» = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = — 21

    — 7 * (-3) — снова должно быть после нуля три знака «минус» =

    = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

    Умножение на ноль

    7 * 0 = 0 + . нет операций прибавления к нулю.

    Если умножение это прибавление к нулю, а множитель показывает количество операций прибавления к нулю, то множитель ноль показывает, что к нулю ничего не прибавляется. Поэтому и остается ноль.

    Итак, в существующей формулировке умножения мы нашли три смысловые ошибки, которые блокируют понимание двух «правил знаков» (когда множитель отрицательный) и умножение числа на ноль.

    1. Нужно не складывать множимое, а прибавлять его к нулю.
    2. Умножение это не только прибавление к нулю, но и вычитание из нуля.
    3. Множитель и его знак показывают не количество слагаемых, а количество знаков плюс или минус при разложении умножения на слагаемые (или вычитаемые).

    Несколько уточнив формулировку, нам удалось объяснить правила знаков при умножении и умножение числа на ноль без помощи переместительного закона умножения, без распределительного закона, без привлечения аналогий с числовой прямой, без уравнений, без доказательств от обратного и т.п.

    Правила знаков по уточненной формулировке умножения выводятся очень просто.

    -7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

    +7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

    -7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

    Множитель и его знак (+3 или -3) указывает на количество знаков «+» или «-» в правой части равенства.

    Измененная формулировка умножения соответствует операции возведения числа в степень.

    2^0 = 1 (единица ни на что не умножается и не делится, поэтому остается единицей)

    2^-2 = 1 : 2 : 2 = 1/4

    2^-3 = 1 : 2 : 2 : 2 = 1/8

    Математики согласны, что возведение числа в положительную степень — это многократное умножение единицы. А возведение числа в отрицательную степень — это многократное деление единицы.

    Операция умножения должна быть аналогична операции возведения в степень.

    2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

    2*0 = 0 (к нулю ничего не прибавляется и из нуля ничего не вычитается)

    2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

    Измененная формулировка умножения ничего не меняет в математике, но возвращает первоначальный смысл операции умножения, объясняет «правила знаков», умножение числа на ноль, согласовывает умножение с возведением в степень.

    Проверим, согласуется ли наша формулировка умножения с операцией деления.

    15 : 5 = 3 (обратная операция умножения 5 * 3 = 15)

    Частное (3) соответствует количеству операций прибавления к нулю (+3) при умножении.

    Разделить число 15 на 5 — значит найти, сколько раз нужно вычесть 5 из 15-ти. Делается это последовательным вычитанием до получения нулевого результата.

    Чтобы найти результат деления, нужно подсчитать количество знаков «минус». Их три.

    15 : 5 = 3 операции вычитания пятерки из 15 до получения нуля.

    15 — 5 — 5 — 5 = 0 (деление 15 : 5)

    0 + 5 + 5 + 5 = 15 (умножение 5 * 3)

    Деление с остатком.

    17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

    17 : 5 = 3 и 2 остаток

    Если есть деление с остатком, почему нет умножения с придатком?

    2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

    Смотрим разницу формулировок на калькуляторе

    Существующая формулировка умножения (три слагаемых).

    10 + 10 + 10 = 30

    Исправленная формулировка умножения (три операции прибавления к нулю).

    0 + 10 = = = 30

    (Три раза нажимаем «равняется».)

    10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

    Множитель 3 указывает, что к нулю нужно прибавить множимое 10 три раза.

    Попробуйте выполнить умножение (-10) * (-3) путем сложения слагаемого (-10) минус три раза!

    (-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

    Что значит знак минус у тройки? Может так?

    (-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

    Опс. Не получается разложить произведение на сумму (или разность) слагаемых (-10).

    С помощью измененной формулировки это выполняется правильно.

    0 — (-10) = = = +30

    (-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

    Множитель (-3) указывает, что из нуля нужно вычесть множимое (-10) три раза.

    Правила знаков при сложении и вычитании

    Выше был показан простой способ вывода правил знаков при умножении, путем изменения смысла формулировки умножения.

    Но для вывода мы использовали правила знаков при сложении и вычитании. Они почти такие же, как и для умножения. Создадим визуализацию правил знаков для сложения и вычитания, чтобы и первокласснику было понятно.

    Что такое «минус», «отрицательный»?

    Ничего отрицательного в природе нет. Нет отрицательной температуры, нет отрицательного направления, нет отрицательной массы, нет отрицательных зарядов. Даже синус по своей природе может быть только положительным.

    Но математики придумали отрицательные числа. Для чего? Что означает «минус»?

    Минус означает противоположное направление. Левый — правый. Верх — низ. По часовой стрелке — против часовой стрелки. Вперед — назад. Холодно — горячо. Легкий — тяжелый. Медленно — быстро. Если подумать, можно привести много других примеров, где удобно использовать отрицательные значения величин.

    В известном нам мире бесконечность начинается с нуля и уходит в плюс бесконечность.

    «Минус бесконечности» в реальном мире не существует. Это такая же математическая условность, как и понятие «минус».

    Итак, «минус» обозначает противоположное направление: движения, вращения, процесса, умножения, сложения. Проанализируем разные направления при сложении и вычитании положительных и отрицательных (увеличивающихся в другом направлении) чисел.

    Сложность понимания правил знаков при сложении и вычитании связана с тем, что обычно эти правила пытаются объяснить на числовой прямой. На числовой прямой смешиваются три разные составляющие, из которых выводятся правила. И из-за смешивания, из-за сваливания разных понятий в одну кучу, создаются трудности понимания.

    Для понимания правил, нам нужно разделить:

  • первое слагаемое и сумму (они будут на горизонтальной оси);
  • второе слагаемое (оно будет на вертикальной оси);
  • направление операций сложения и вычитания.
  • Такое разделение наглядно показано на рисунке. Мысленно представьте, что вертикальная ось может вращаться, накладываясь на горизонтальную ось.

    Операция сложения всегда выполняется вращением вертикальной оси по часовой стрелке (знак «плюс»). Операция вычитания всегда выполняется путем вращения вертикальной оси против часовой стрелки (знак «минус»).

    Пример. Схема в нижнем правом углу.

    Видно, что два рядом стоящих знака минуса (знак операции вычитания и знак числа 3) имеют разный смысл. Первый минус показывает направление вычитания. Второй минус — знак числа на вертикальной оси.

    Находим первое слагаемое (-2) на горизонтальной оси. Находим второе слагаемое (-3) на вертикальной оси. Мысленно вращаем вертикальную ось против часовой стрелки до совмещения (-3) с числом (+1) на горизонтальной оси. Число (+1) есть результат сложения.

    дает такой же результат, как операция сложения на схеме в верхнем правом углу.

    Поэтому два рядом стоящих знака «минус» можно заменить одним знаком «плюс».

    Мы все привыкли пользоваться готовыми правилами арифметики, не задумываясь об их смысле. Поэтому мы часто даже не замечаем, чем правила знаков при сложении (вычитании) отличаются от правил знаков при умножении (делении). Кажется, они одинаковые? Почти. Незначительная разница видна на следующей иллюстрации.

    Теперь у нас есть все необходимое, чтобы вывести правила знаков для умножения. Последовательность вывода следующая.

  • Наглядно показываем, как получаются правила знаков для сложения и вычитания.
  • Вносим смысловые изменения в существующую формулировку умножения.
  • На основе измененной формулировки умножения и правил знаков для сложения выводим правила знаков для умножения.
  • Ниже написаны правила знаков при сложени и вычитании, полученные из визуализации. И красным цветом, для сравнения, те же правила знаков из учебника математики. Серый плюс в скобках — это плюс-невидимка, который не записывается у положительного числа.

    Между слагаемыми всегда два знака: знак операции и знак числа (плюс мы не записываем, но подразумеваем). Правила знаков предписывают замену одной пары знаков на другую пару без изменения результата сложения (вычитания). Фактически, правил всего два.

    Правила 1 и 3 (по визуализации) — дублируют правила 4 и 2.. Правила 1 и 3 в школьной интерпретации не совпадают с визуальной схемой, следовательно, они не относятся к правилам знаков при сложении. Это какие-то другие правила.

    Школьное правило 1. (красный цвет) разрешает заменять два плюса подряд одним плюсом. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

    Школьное правило 3. (красный цвет) разрешает не записывать знак плюс у положительного числа после операции вычитания. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

    Смысл правил знаков при сложении- замена одной ПАРЫ знаков другой ПАРОЙ знаков без изменения результата сложения.

    Школьные методисты смешали в одном правиле два правила:

    — два правила знаков при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел (замена одной пары знаков другой парой знаков);

    — два правила, по которым можно не писать знак «плюс» у положительного числа.

    Два разных правила, смешанных в одно, похожи на правила знаков при умножении, где из двух знаков следует третий. Похожи один в один.

    Здорово запутали! Ещё раз то же самое, для лучшего распутывания. Выделим красным цветом знаки операций, чтобы отличать их от знаков чисел.

    1. Сложение и вычитание. Два правила знаков, по которым взаимозаменяются пары знаков между слагаемыми. Знак операции и знак числа.

    2. Два правила, по которым знак плюс у положительного числа разрешается не писать. Это правила формы записи. К сложению не относятся. Для положительного числа записывается только знак операции.

    3. Четыре правила знаков при умножении. Когда из двух знаков множителей следует третий знак произведения. В правилах знаков для умножения только знаки чисел.

    Теперь, когда мы отделили правила формы записи, должно быть хорошо видно, что правила знаков для сложения и вычитания совсем не похожи на правила знаков при умножении.

    Дата размещения материала на сайте: 10 июля 2015 года

    mnemonikon.ru

    Как умножить на 0,25

    умножение числа на 0,25 можно заменить делением на 4, а деление на 0,25 — умножением на 4. В общем виде:

    С помощью этого правила быстрого счета умножать и делить на 0,25 можно и целые числа, и дроби.

    Умножить число на 0, 25 — все равно, что разделить это число на 4:

    В следующих примерах умножение на 0,25 также заменяем делением на 4:

    Разделить число на 0,25 — все равно, что умножить его на 4:

    В следующих примерах деление на 0,25 также заменяем умножением на 4:

    (Умножать смешанное число на 4 можно было и по другому правилу).

    Особенно полезно применять эти соображения при устном счете.

    www.for6cl.uznateshe.ru

    «Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

    Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

    Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

    Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

    Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

    Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

    Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

    Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

    pikabu.ru

    ahiin

    Популярно о науке

    В бытность мою практикующим, так сказать, преподавателем, любил я задать своим студентам простой вопрос:
    А откуда вообще следует, что
    Ну то есть, почему умножение любого числа на ноль дает ноль?

    Незабываемо прекрасным было выражение одухотворенных лиц представителей будущей интеллектуальной элиты.

    Нечто подобное мне удалось повидать лишь годы спустя, в Голландии:

    Не, я конечно понимаю, что всем нам это в юности в школе сказали, в том нежном возрасте, когда добрая природа подавляет критическое восприятие действительности, упрощая обучение. Однако же, студенты 4-го курса таки, будущие «прафисианальные» математики.

    Вообще, по определению:

    Это все. Если к числу прибавить ноль, получим то же самое число. Никакого умножения в определении. Никаких свойств, связанных с умножением в определении не декларируется. Ежели кто подумал, не метнуться ли резко на Википедию, то предлагаю расслабиться: в статье про ноль, как, впрочем и по всей Википедиии, херня и годная информация экстатически слились неразделимо.

    Ежели вернуться к исходному вопросу, то правильный ответ таков:»Это следует из соответствующего доказательства».

    Вот оно (спасибо bortans ):

    Вычитая из правой и левой части, имеем:

    В этом невинном, на первый взгляд, доказательстве далеко не все просто. В процессе выкладок использован целый ряд неочевидных свойств чисел и операций над ними. Это и существование у каждого числа обратного ему относительно операции сложения, и дистрибутивность операций сложения и умножения.

    Как это часто бывает в математике, за простым, даже тривиальным вопросом нередко отверзаются бездны.

    Остается добавить, что систематическая аксиоматика арифметики была закончена итальянским математиком Джузеппе Пеано лишь в последние годы 19-го века. Более того, непротиворечивость аксиоматики Пеано была показана Герхардом Генценом лишь 1936 году. Арифметики. В 1936.

    Как-нибудь надо будет рассказать, как пифагорейцев, которым тоже было «все и так понятно», обломала диагональ квадрата.

    ahiin.livejournal.com