Правило умножения многочлена

Умножение многочлена на одночлен: правило, примеры.

Частным случаем умножения многочлена на многочлен является умножение многочлена на одночлен. В этой статье мы получим правило, позволяющее выполнять это действие, а также на примерах рассмотрим, как с его помощью находится произведение многочлена и одночлена.

Навигация по странице.

Правило умножения многочлена на одночлен

Сначала стоит разобраться, что лежит в основе умножения многочлена на одночлен.

Умножение многочлена на одночлен базируется на распределительном свойстве умножения относительно сложения. Буквенная запись этого свойства имеет вид (a+b)·c=a·c+b·c , под буквами a , b и c мы подразумевали некоторые числа. Однако, в этой записи выражение (a+b)·c представляет собой ни что иное как произведение многочлена a+b на одночлен c , а правая часть равенства a·c+b·c представляет собой сумму произведений одночленов a и b на одночлен c .

Из приведенных рассуждений можно сделать вывод, что умножение многочлена на одночлен сводится к умножению всех членов многочлена на данный одночлен с последующим сложением произведений. Сформулируем это утверждение в виде правила умножения многочлена на одночлен.

Чтобы выполнить умножение многочлена на одночлен, надо

  • составить произведение из умножаемых многочлена и одночлена;
  • после этого умножить каждый член многочлена на этот одночлен;
  • наконец, сложить полученные произведения.
  • Дадим пояснения шагов озвученного правила.

    При составлении произведения многочлен заключается в скобки, после этого ставиться знак умножения, дальше записывается одночлен, причем, если его запись начитается со знака минус, то он тоже заключается в скобки. Например, произведение многочлена −2·x 2 +x−1 и одночлена 5·x·y запишется как (−2·x 2 +x−1)·5·x·y , а произведение многочлена a 5 ·b−3·a·b и одночлена −2·a 2 – как (a 5 ·b−3·a·b)·(−2·a 2 ) .

    Дальше каждый член многочлена нужно умножить на данный одночлен. Так как членами многочлена являются одночлены, то на этом шаге мы выполняем умножение одночленов на одночлен. Пусть, к примеру, на первом шаге мы составили произведение вида (2·x 2 +x+3)·5·x . На втором шаге мы каждый из членов многочлена 2·x 2 +x+3 умножаем на одночлен 5·x , имеем 2·x 2 ·5·x=10·x 3 , x·5·x=5·x 2 и 3·5·x=15·x . В итоге получаем одночлены 10·x 3 , 5·x 2 и 15·x .

    На последнем этапе нам нужно сложить полученные выше результаты. В рассматриваемом примере это нам даст сумму вида 10·x 3 +5·x 2 +15·x .

    Обычно все выполняемые действия записывают в виде цепочки равенств. Так запись умножения многочлена 2·x 2 +x+3 на одночлен 5·x кратко оформляется в следующем виде: (2·x 2 +x+3)·5·x=10·x 3 +5·x 2 +15·x . Чаще в решение включают и промежуточные вычисления второго шага, при этом решение выглядит так: (2·x 2 +x+3)·5·x= 2·x 2 ·5·x+x·5·x+3·5·x= 10·x 3 +5·x 2 +15·x .

    Из разобранных примеров видна важная деталь: в результате умножения многочлена на одночлен получается многочлен. Это утверждение справедливо для любых умножаемых многочлена и одночлена.

    Аналогично умножению многочлена на одночлен проводится умножение одночлена на многочлен. При этом данный одночлен умножают на каждый член многочлена и полученные произведения складывают.

    С теорией разобрались. Теперь можно рассмотреть решения примеров на умножение многочлена и одночлена.

    www.cleverstudents.ru

    Умножение многочлена на многочлен: правило, примеры.

    Продолжаем изучать действия с многочленами. В этой статье мы разберем умножение многочлена на многочлен. Здесь мы получим правило умножения, после чего рассмотрим его применение при решении примеров на умножение многочленов различного вида.

    Чтобы подойти к правилу умножения многочлена на многочлен, рассмотрим пример. Возьмем два многочлена a+b и c+d и выполним их умножение.

    Сначала составим их произведение, для этого заключим каждый из многочленов в скобки, и поставим между ними знак умножения, имеем (a+b)·(c+d) . Теперь обозначим (c+d) как x , после этой замены записанное произведение примет вид (a+b)·x . Выполним умножение так, как проводится умножение многочлена на одночлен: (a+b)·x=a·x+b·x . На этом этапе проведем обратную замену x на c+d , что нас приведет к выражению a·(c+d)+b·(c+d) , которое с помощью правила умножения одночлена на многочлен преобразуется к виду a·c+a·d+b·c+b·d . Таким образом, умножению исходных многочленов a+b и c+d соответствует равенство (a+b)·(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d .

    Из проведенных рассуждений можно сделать два важных вывода. Во-первых, результатом умножения многочлена на многочлен является многочлен. Это утверждение справедливо для любых умножаемых многочленов, а не только для тех, которые мы взяли в примере. Во-вторых, произведение многочленов равно сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого. Отсюда следует, что при умножении многочленов, содержащих m и n членов соответственно, указанная сумма произведений членов будет состоять из m·n слагаемых.

    Теперь сделанные выводы нам позволяют сформулировать правило умножения многочленов:
    чтобы провести умножение многочлена на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и сложить полученные произведения.

    Примеры умножения многочлена на многочлен

    На практике при решении примеров правило умножения многочлена на многочлен, полученное в предыдущем пункте, разбивается на последовательные шаги:

  • Так сначала записывается произведение умножаемых многочленов. При этом умножаемые многочлены заключаются в скобки и между ними ставится знак « · ».
  • Дальше строится сумма произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго. Для этого берется первый член первого многочлена и умножается на каждый член второго многочлена. После этого берется второй член первого многочлена и тоже умножается на каждый член второго многочлена. И так далее.
  • Наконец, при возможности остается полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида.
  • Разберемся с этим на конкретном примере.

    Выполните умножение многочленов 2−3·x и x 2 −7·x+1 .

    Записываем произведение: (2−3·x)·(x 2 −7·x+1) .

    Теперь составляем сумму произведений каждого члена многочлена 2−3·x на каждый член многочлена x 2 −7·x+1 . Для этого берем первый член первого многочлена, то есть, 2 , и умножаем его на каждый член второго многочлена, имеем 2·x 2 , 2·(−7·x) и 2·1 . Теперь берем второй член первого многочлена −3·x и умножаем его на каждый член второго многочлена, имеем −3·x·x 2 , −3·x·(−7·x) и −3·x·1 . Из всех полученных выражений составляем сумму: 2·x 2 +2·(−7·x)+2·1− 3·x·x 2 −3·x·(−7·x)−3·x·1 .

    Чтобы убедиться, что мы все сделали правильно и не забыли про произведение каких-нибудь членов, посчитаем количество членов в полученной сумме. Там их 6 . Так и должно быть, так как исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов, а 2·3=6 .

    Осталось полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида:
    2·x 2 +2·(−7·x)+2·1− 3·x·x 2 −3·x·(−7·x)−3·x·1= 2·x 2 −14·x+2−3·x 3 +21·x 2 −3·x= (2·x 2 +21·x 2 )+(−14·x−3·x)+2−3·x 3 = 23·x 2 −17·x+2−3·x 3 .

    Таким образом, умножение исходных многочленов дает многочлен 23·x 2 −17·x+2−3·x 3 .

    Удобно решение записывать в виде цепочки равенств, которая отражает все выполняемые действия. Для нашего примера краткое решение выглядит так:
    (2−3·x)·(x 2 −7·x+1)= 2·x 2 +2·(−7·x)+2·1− 3·x·x 2 −3·x·(−7·x)−3·x·1= 2·x 2 −14·x+2−3·x 3 +21·x 2 −3·x= (2·x 2 +21·x 2 )+(−14·x−3·x)+2−3·x 3 = 23·x 2 −17·x+2−3·x 3 .

    (2−3·x)·(x 2 −7·x+1)=23·x 2 −17·x+2−3·x 3 .

    Стоит заметить, что если умножаемые многочлены заданы в виде, отличном от стандартного, то перед умножением их целесообразно привести к стандартному виду. В результате получится тот же результат, что и при умножении многочленов в исходном не стандартном виде, но решение получится намного короче.

    Выполните умножение многочленов и x·y−1 .

    Многочлен дан не в стандартном виде. Прежде чем выполнять умножение, приведем многочлен его к стандартному виду:

    Теперь можно выполнять умножение многочленов:

    .

    В заключение скажем, что иногда приходится выполнять умножение трех, четырех и большего количества многочленов. Оно сводится к последовательному умножению двух многочленов. То есть, сначала умножаются первые два многочлена, полученный результат умножается на третий многочлен, этот результат умножается на четвертый многочлен и так далее.

    Найдите произведение трех многочленов x 2 +x·y−1 , x+y и 2·y−3 .

    Запишем их произведение: (x 2 +x·y−1)·(x+y)·(2·y−3) . Сначала умножаем первые два многочлена, имеем (x 2 +x·y−1)·(x+y)= x 2 ·x+x 2 ·y+x·y·x+x·y·y−1·x−1·y= x 3 +2·x 2 ·y+x·y 2 −x−y . Таким образом, (x 2 +x·y−1)·(x+y)·(2·y−3)= (x 3 +2·x 2 ·y+x·y 2 −x−y)·(2·y−3) . И вновь выполняем умножение двух многочленов:
    (x 3 +2·x 2 ·y+x·y 2 −x−y)·(2·y−3)= x 3 ·2·y+x 3 ·(−3)+2·x 2 ·y·2·y+2·x 2 ·y·(−3)+ x·y 2 ·2·y+x·y 2 ·(−3)−x·2·y− x·(−3)−y·2·y−y·(−3)= 2·x 3 ·y−3·x 3 +4·x 2 ·y 2 −6·x 2 ·y+2·x·y 3 − 3·x·y 2 −2·x·y+3·x−2·y 2 +3·y .

    (x 2 +x·y−1)·(x+y)·(2·y−3)= 2·x 3 ·y−3·x 3 +4·x 2 ·y 2 −6·x 2 ·y+2·x·y 3 − 3·x·y 2 −2·x·y+3·x−2·y 2 +3·y .

    cleverstudents.ru

    Урок по математике в 7 классе «Умножение многочленов»

    Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

    Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта «Инфоурок» и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

    Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

    Урок по теме «Умножение многочлена на многочлен»

    Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

    Используемые учебники и учебные пособия:

    Учебник «Алгебра 7». Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского. Москва «Просвещение».2011г.

    Компьютер, мультимедийный проектор, экран, школьная доска

    Цель урока: Вывести алгоритм умножения многочлена на многочлен.

    Задачи: Деятельностная: формировать способность к построению правила умножения многочлена на многочлен.

    Образовательные: — научить умножать многочлен на многочлен;
    — повторить умножение степеней, умножение одночленов, умножение одночлена на многочлен.

    Воспитательная: — развивать коммуникативные способности учащихся при работе в группе.

    I. Организационный момент.

    Учитель
    – Добрый день ребята, у нас сегодня необычный урок, посмотрите, пожалуйста, друг на друга, улыбнитесь, посмотрите на меня, улыбнулись, пожелаем успеха друг другу, и начнём работать.
    Сегодня на уроке вы будете работать в группах. Для совместной работы нужна взаимовыручка, взаимоподдержка, умение слушать друг друга, умение принять точку зрения другого. Надеюсь, ваша совместная работа, сегодня на уроке, будет именно такой.

    II. Открытие новых знаний. (презентация)

    На слайде записаны следующие выражения:

    Учитель: Посмотрите на выражения, записанные на слайде.

    Назовите номера примеров на умножение одночлена на многочлен, как умножить одночлен на многочлен? ( Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и результаты сложить .)

    — Назовите номера примеров на сложение и вычитание многочленов

    — Как сложить и вычитать многочлены?( раскрыть скобки и привести подобные слагаемые .)

    — Какие задания вы не сможете выполнить? ( Умножить многочлен на многочлен.)

    — ИТАК, какую учебную задачу поставим на урок? ( Научиться умножать многочлен на многочлен.)

    — А что значит научиться? ( Вывести правило или алгоритм умножения многочлена на многочлен).

    — Т.е. мы должны разработать алгоритм умножения многочлена на многочлен.

    (Записываем тему урока «Умножение многочлена на многочлен).

    — Какую учебную задачу мы поставим на урок? ( Разработать алгоритм умножения многочлена на многочлен. )

    — Попробуем решить задачу: Найти площадь поверхности стены, занятой шкафом, размеры которого указаны на рисунке.

    Итак, как вы нашли площадь поверхности стены, занятый шкафом?

    Площадь шкафа можно найти двумя способами:

    1)найти площадь каждой полки и результаты сложить;

    2)найти длину и ширину шкафа и результаты сложить

    Итак, вы получили такую формулу: (а+ b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd

    Именно так великий греческий математик Евклид доказывал справедливость этого равенства с помощью чертежа, изображенного на рисунке 68 вашего учебника.

    — Какие знания нам понадобятся для этого? ( Распределительный закон умножения, правило умножения одночлена на многочлен. )

    Учитель разбирает один из примеров.

    Пример 1.

    Пример 2.

    Пример 3.

    А теперь вернемся к тем примерам, которые вызвали у вас затруднения

    Пример1. ( х+у)(х-у)=х =

    Пример2. ( 2х +1)(х – 3)=

    Пример 3. (2у+3)(4-х)=8у-2 xy +12-3 x

    — Кто пойдет к доске? Кто готов выбрать одно из предложенных выражений и попробовать умножить многочлен на многочлен?

    — Остальные могут выбрать другое выражение и разобрать его самостоятельно.

    Какой первый шаг нашего алгоритма?(умножение каждого члена одного многочлена,на каждый член другого.)

    Какой второй шаг нашего алгоритма?

    Попробуем дать полный алгоритм умножения многочленов:

    1 шаг: каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго многочлена;

    2 шаг: найти произведения полученных одночленов;

    3 шаг: привести подобные слагаемые;

    4 шаг: полученный многочлен записать в стандартном виде.

    — Мы справились с учебной задачей? (Справились) Откроем учебники на стр.136 и прочитаем правило умножения многочлена на многочлен. (расскажите это правило друг другу) (ТАЙМД ПЭА ШЭА)(30 сек)

    -Несколько учеников проговаривают правило.

    — Что же еще нам осталось сделать? ( Потренироваться. )

    1.Выполнение задания у доски и в тетрадях
    № 677 (с комментариями у доски по одному учащемуся)

    № 678 (3 человека у доски одновременно решают по два номера, без комментариев. С последующей классной проверкой)

    Этап IV . Применение в жизни.

    Ребята на ГИА встречаются задачи такого типа:

    Сторона участка квадратной формы на 3 м меньше участка прямоугольной формы и на 2 м больше другой. Найти сторону участка квадратной формы, если ее площадь на 14 кв. метров меньше площади прямоугольного участка .

    НариНарисуем эти участки в виде прямоугольника и квадрата, пусть сторона квадратного листа участка x м, тогда его площадь х 2 м 2 . Стороны прямоугольного участка — 2) м и (х + 3) м, площа площадь (х — 2) (х + 3) м 2 . Составим и решим уравнение: — 2) (х + 3) — х 2 =14

    Найдите площадь участка квадратной формы и ответ запишите в арах.

    S =20м x 20м=400

    Этап V. Проверка усвоенных знаний.

    Самостоятельна работа (в парах)

    1. Закончите запись:

    2. Узнайте, какие три планеты были открыты за последние 200 лет. Для этого, выполните умножение многочлена на многочлен и, используя найденные ответы и данные таблицы:

    Проверка с/р обеспечивается на уроке . Оценки учащиеся ставят себе сами, согласно критериям оценивания.

    в остальных случаях – “2”

    Этап V. Подведение итога урока.

    Проверяется правильность выполнения заданий по готовому решению по презентации, разбираются ошибки.

    Этап VI . Рефлексия деятельности .
    – Что нового вы узнали на уроке? (Как умножать многочлены).
    – Достигнута цель нашего урока?
    — Наш урок подходит к концу. Проведём минутку хвастовства.

    — я узнал….
    — у меня получилось…
    — я смог…
    — я научился…
    — теперь я могу…

    В своих тетрадях поставьте звездочку, если вы считаете, что материал усвоен; квадратик – если остались вопросы; треугольник- недовольны результатами своей работы.

    Урок сегодня завершён,

    Но каждый должен знать:

    Познание, упорство, труд К успеху приведут!

    Ребята, сегодня на уроке вы работали в паре. И, надеюсь, убедились, вместе работать легче, вместе – интереснее. И как бы ни был труден путь к знаниям, вместе его преодолеть легче.

    Мне было приятно с вами работать. Спасибо за урок.

    infourok.ru

    Умножение многочлена на многочлен

    УРОК АЛГЕБРЫ В 7 КЛАССЕ.

    На данном уроке будет изучена операция умножения многочлена на одночлен, являющаяся основой для изучения умножения многочленов. Вспомним распределительный закон умножения и сформулируем правило умножения любого многочлена на одночлен. Также вспомним некоторые свойства степеней.

    Содержимое разработки

    Кто любит учиться, никогда не проводит время в праздности.

    • Ш. Монтескье

    Урок алгебры в 7 классе

    Подготовила учитель математики

    МБОУ СОШ 39 г.Ставрополья Джикаева М.г.

    — вывести правило умножения многочлена на

    — формировать умение применять это правило.

    — формирование умения анализировать и обобщать

    — развитие навыков устного счёта.

    — воспитание устойчивого интереса к предмету.

    Обозначим двучлен ( a + b ) буквой х.

    Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно

    каждый член одного многочлена умножить

    на каждый член другого многочлена и

    полученные результаты сложить.

    Пример 2 . Упростить выражение ( 3 х – 3)(5 – х ) – 3 х (4 – х ).

    = 10 х – 2 х 2 – 15 + 3 х – 12 х + 3 х 2 =

    Пример 3 . Докажем, что при любом натуральном

    Вывод: При любом натуральном п произведение

    3 ( п 2 + 2 п + 4) делится на 3, а значит и значение выражения

    Учебник стр. 138,

    1. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

    Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные результаты сложить.

    2. Какие знаки будут иметь слагаемые, полученные

    при умножении многочленов:

    а) (х + у) (а – b); б) (n – m) (p – q)?

    Используемые учебники и учебная литература:

    1. Учебник «Алгебра 7». Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков,

    С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского. Москва

    2. Рурукин А.Н., Лупенко Г.В., Масленникова И.А.

    Поурочные разработки по алгебре: 7 класс.

    videouroki.net

    Как умножить многочлен на одночлен

    Как умножить многочлен на одночлен? Как при умножении правильно расставить знаки?

    Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена умножить на одночлен и полученные результаты сложить.

    Удобно одночлен записывать перед скобками.

    Чтобы правильно расставить знаки при умножении, лучше воспользоваться правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс» либо знак «минус».

    Умножения многочлена на одночлен можно изобразить с помощью схемы.

    Одночлен умножаем на каждый член многочлена, стоящего в скобках («фонтанчиком»).

    Если перед скобками стоит знак «+», знаки в скобках не изменяются:

    Если перед скобками стоит знак «-«, каждый знак в скобках меняется на противоположный:

    Рассмотрим, как умножить многочлен на одночлен, на конкретных примерах.

    Выполнить умножение многочлена на одночлен:

    Умножаем одночлен на каждый член многочлена, стоящего в скобках. Так как перед скобками стоит знак «плюс», знаки в скобках не изменяются:

    отдельно перемножаем числа, отдельно — степени с одинаковыми основаниями:

    Одночлен умножаем на каждый член многочлена. Так как перед скобками стоит множитель, знак каждого слагаемого, стоящего в скобках, меняем на противоположный:

    Обычно пишут короче, умножение степеней и чисел (за исключением обыкновенных дробей и смешанных чисел) выполняют устно.

    Если коэффициенты — обыкновенные дроби, то умножаем их по правилу умножения обыкновенных дробей: числитель — на числитель, знаменатель — на знаменатель, и сразу же записывая их под одну дробную черту. Если коэффициенты — смешанные числа, переводим их в неправильные дроби:

    Внимание!

    Не сокращаем дроби, пока не записали все действия до конца. Как показывает практика, если сразу же начинать с сокращения дробей, то до остальных слагаемых дело не доходит — о них просто забывают.

    Перед скобками стоит «-«, знак каждого слагаемого в скобках меняем на противоположный. И смешанное число, и десятичные дроби переводим в обыкновенные дроби:

    www.algebraclass.ru