Умножение десятичных чисел правило

Умножение десятичных дробей

Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.

Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.

Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.

В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

Как умножать десятичные дроби

Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. То есть 3,11 мы рассматриваем как 311 , а 0,01 как 1 .

Получили 311 . Теперь считаем количество знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В первой десятичной дроби два знака и во второй — два. Общее количество цифр после запятых:

Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В таком случае нужно слева приписать недостающее число нулей.

У нас не хватает одной цифры, поэтому приписываем слева один ноль.

При умножении любой десятичной дроби на 10; 100; 1000 и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы.

  • 70,1 · 10 = 701
  • 0,023 · 100 = 2,3
  • 5,6 · 1 000 = 5 600
  • Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.

    Считаем и ноль целых!

    • 12 · 0,1 = 1,2
    • 0,05 · 0,1 = 0,005
    • 1,256 · 0,01 = 0,012 56
    • math-prosto.ru

      Чтобы понять, как умножать десятичные дроби, рассмотрим конкретные примеры.

      Правило умножения десятичных дробей

      1) Умножаем, не обращая внимания на запятую.

      2) В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.

      Найти произведение десятичных дробей:

      Чтобы умножить десятичные дроби, умножаем, не обращая внимания на запятые. То есть мы умножаем не 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе. В первом множителе после запятой одна цифра, во втором — тоже одна. Итого, отделяем после запятой две цифры.Таким образом, получили окончательный ответ: 6,8∙3,4=23,12.

      Умножаем десятичные дроби, не принимая во внимание запятую. То есть фактически вместо умножения 36,85 на 1,14 мы умножаем 3685 на 14. Получаем 51590. Теперь в этом результате надо отделить запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой две цифры, во втором — одна. Итого, отделяем запятой три цифры. Поскольку в конце записи после запятой стоит нуль, в ответ мы его не пишем: 36,85∙1,4=51,59.

      Чтобы умножить эти десятичные дроби, умножим числа, не обращая внимания на запятые. То есть умножаем натуральные числа 2315 и 7. Получаем 16205. В этом числе нужно отделить после запятой четыре цифры — столько, сколько их в обоих множителях вместе (в каждом — по два). Окончательный ответ: 23,15∙0,07=1,6205.

      Умножение десятичной дроби на натуральное число выполняется аналогично. Умножаем числа, не обращая внимания на запятую, то есть 75 умножаем на 16. В полученном результате после запятой должно стоять столько же знаков, сколько их в обоих множителях вместе — один. Таким образом, 75∙1,6=120,0=120.

      Умножение десятичных дробей начинаем с того, что умножаем натуральные числа, так как на запятые не обращаем внимания. После этого отделяем после запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой два знака, во втором — тоже два. Итого, в результате после запятой должно стоять четыре цифры: 4,72∙5,04=23,7888.

      И еще пара примеров на умножение десятичных дробей:

      www.for6cl.uznateshe.ru

      Умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

      Переходим к изучению следующего действия с десятичными дробями, сейчас мы всесторонне рассмотрим умножение десятичных дробей. Сначала обговорим общие принципы умножения десятичных дробей. После этого перейдем к умножению десятичной дроби на десятичную дробь, покажем, как выполняется умножение десятичных дробей столбиком, рассмотрим решения примеров. Дальше разберем умножение десятичных дробей на натуральные числа, в частности на 10, 100 и т.д. В заключение поговорим об умножении десятичных дробей на обыкновенные дроби и смешанные числа.

      Сразу скажем, что в этой статье мы будем говорить лишь об умножении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи разобраны в статьях умножение рациональных чисел и умножение действительных чисел.

      Навигация по странице.

      Общие принципы умножения десятичных дробей

      Обсудим общие принципы, которых следует придерживаться при проведении умножения с десятичными дробями.

      Так как конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби являются десятичной формой записи обыкновенных дробей, то умножение таких десятичных дробей по сути является умножением обыкновенных дробей. Иными словами, умножение конечных десятичных дробей, умножение конечной и периодической десятичных дробей, а также умножение периодических десятичных дробей сводится к умножению обыкновенных дробей после перевода десятичных дробей в обыкновенные.

      Рассмотрим примеры применения озвученного принципа умножения десятичных дробей.

      Выполните умножение десятичных дробей 1,5 и 0,75 .

      Заменим умножаемые десятичные дроби соответствующими обыкновенными дробями. Так как 1,5=15/10 и 0,75=75/100 , то . Можно провести сокращение дроби, после чего выделить целую часть из неправильной дроби , а удобнее полученную обыкновенную дробь 1 125/1 000 записать в виде десятичной дроби 1,125 .

      Следует отметить, что конечные десятичные дроби удобно умножать столбиком, об этом способе умножения десятичных дробей мы поговорим в следующем пункте.

      Рассмотрим пример умножения периодических десятичных дробей.

      Вычислите произведение периодических десятичных дробей 0,(3) и 2,(36) .

      Выполним перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби:

      Тогда . Можно полученную обыкновенную дробь перевести в десятичную дробь:

      Если среди умножаемых десятичных дробей присутствуют бесконечные непериодические, то все умножаемые дроби, в том числе конечные и периодические, следует округлить до некоторого разряда (смотрите округление чисел), после чего выполнять умножение полученных после округления конечных десятичных дробей.

      Выполните умножение десятичных дробей 5,382… и 0,2 .

      Сначала округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь, округление можно провести до сотых, имеем 5,382…≈5,38 . Конечную десятичную дробь 0,2 округлять до сотых нет необходимости. Таким образом, 5,382…·0,2≈5,38·0,2 . Осталось вычислить произведение конечных десятичных дробей: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1 076/1 000=1,076 .

      Умножение десятичных дробей столбиком

      Умножение конечных десятичных дробей можно выполнять столбиком, аналогично умножению столбиком натуральных чисел.

      Сформулируем правило умножения десятичных дробей столбиком. Чтобы умножить десятичные дроби столбиком, надо:

      • не обращая внимания на запятые, выполнить умножение по всем правилам умножения столбиком натуральных чисел;
      • в полученном числе отделить десятичной запятой столько цифр справа, сколько десятичных знаков в обоих множителях вместе, при этом если в произведении не хватает цифр, то слева нужно дописать нужное количество нулей.
      • Рассмотрим примеры умножения десятичных дробей столбиком.

        Выполните умножение десятичных дробей 63,37 и 0,12 .

        Проведем умножение десятичных дробей столбиком. Сначала умножаем числа, не обращая внимания на запятые:

        Осталось в полученном произведении поставить запятую. Ей нужно отделить 4 цифры справа, так как в множителях в сумме четыре десятичных знака (два в дроби 3,37 и два в дроби 0,12 ). Цифр там хватает, поэтому нулей слева дописывать не придется. Закончим запись:

        В итоге имеем 3,37·0,12=7,6044 .

        Вычислите произведение десятичных дробей 3,2601 и 0,0254 .

        Выполнив умножение столбиком без учета запятых, получаем следующую картину:

        Теперь в произведении нужно отделить запятой 8 цифр справа, так как общее количество десятичных знаков умножаемых дробей равно восьми. Но в произведении только 7 цифр, поэтому, нужно слева приписать столько нулей, чтобы можно было отделить запятой 8 цифр. В нашем случае нужно приписать два нуля:

        На этом умножение десятичных дробей столбиком закончено.

        Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01, и т.д.

        Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 0,1 , 0,01 и так далее. Поэтому целесообразно сформулировать правило умножения десятичной дроби на эти числа, которое следует из рассмотренных выше принципов умножения десятичных дробей.

        Итак, умножение данной десятичной дроби на 0,1 , 0,01 , 0,001 и так далее дает дробь, которая получается из исходной, если в ее записи перенести запятую влево на 1 , 2 , 3 и так далее цифр соответственно, при этом если не хватает цифр для переноса запятой, то нужно слева дописать необходимое количество нулей.

        Например, чтобы умножить десятичную дробь 54,34 на 0,1 , надо в дроби 54,34 перенести запятую влево на 1 цифру, при этом получится дробь 5,434 , то есть, 54,34·0,1=5,434 . Приведем еще один пример. Умножим десятичную дробь 9,3 на 0,0001 . Для этого нам нужно в умножаемой десятичной дроби 9,3 перенести запятую на 4 цифры влево, но запись дроби 9,3 не содержит такого количества знаков. Поэтому нам нужно в записи дроби 9,3 слева приписать столько нулей, чтобы можно было беспрепятственно осуществить перенос запятой на 4 цифры, имеем 9,3·0,0001=0,00093 .

        Заметим, что озвученное правило умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01, … справедливо и для бесконечных десятичных дробей. К примеру, 0,(18)·0,01=0,00(18) или 93,938…·0,1=9,3938… .

        Умножение десятичной дроби на натуральное число

        По своей сути умножение десятичных дробей на натуральные числа ничем не отличается от умножения десятичной дроби на десятичную дробь.

        Конечную десятичную дробь умножать на натуральное число удобнее всего столбиком, при этом следует придерживаться правил умножения столбиком десятичных дробей, рассмотренных в одном из предыдущих пунктов.

        Вычислите произведение 15·2,27 .

        Проведем умножение натурального числа на десятичную дробь столбиком:

        При умножении периодической десятичной дроби на натуральное число, периодическую дробь следует заменить обыкновенной дробью.

        Умножьте десятичную дробь 0,(42) на натуральное число 22 .

        Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь:

        Теперь выполним умножение: . Этот результат в виде десятичной дроби имеет вид 9,(3) .

        А при умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на натуральное число нужно предварительно провести округление.

        Выполните умножение 4·2,145… .

        Округлив до сотых исходную бесконечную десятичную дробь, мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби. Имеем 4·2,145…≈4·2,15=8,60 .

        Умножение десятичной дроби на 10, 100, …

        Довольно часто приходится умножать десятичные дроби на 10, 100, … Поэтому целесообразно подробно остановиться на этих случаях.

        Озвучим правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1 000 и т.д. При умножении десятичной дроби на 10, 100, … в ее записи нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифры соответственно и отбросить лишние нули слева; если в записи умножаемой дроби не хватает цифр для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа.

        Умножьте десятичную дробь 0,0783 на 100 .

        Перенесем в записи дроби 0,0783 на две цифры вправо, при этом получим 007,83 . Отбросив два нуля слева, получаем десятичную дробь 7,38 . Таким образом, 0,0783·100=7,83 .

        Выполните умножение десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

        Чтобы умножить 0,02 на 10 000 , нам нужно перенести запятую на 4 цифры вправо. Очевидно, в записи дроби 0,02 не хватает цифр для переноса запятой на 4 цифры, поэтому допишем несколько нулей справа, чтобы можно было осуществить перенос запятой. В нашем примере достаточно дописать три нуля, имеем 0,02000 . После переноса запятой получим запись 00200,0 . Отбросив нули слева, имеем число 200,0 , которое равно натуральному числу 200 , оно и является результатом умножения десятичной дроби 0,02 на 10 000 .

        Озвученное правило справедливо и для умножения бесконечных десятичных дробей на 10, 100, … При умножении периодических десятичных дробей нужно быть аккуратными с периодом дроби, которая является результатом умножения.

        Умножьте периодическую десятичную дробь 5,32(672) на 1 000 .

        Перед умножением распишем периодическую десятичную дробь как 5,32672672672… , это нам позволит не допустить ошибки. Теперь перенесем запятую вправо на 3 знака, имеем 5 326,726726… . Таким образом, после умножения получается периодическая десятичная дробь 5 326,(726) .

        5,32(672)·1 000=5 326,(726) .

        При умножении бесконечных непериодических дробей на 10, 100, … нужно предварительно провести округление бесконечной дроби до некоторого разряда, после чего проводить умножение.

        Умножение десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число

        Для умножения конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, нужно десятичную дробь представить в виде обыкновенной дроби, после чего провести умножение.

        Проведите умножение десятичной дроби 0,4 на смешанное число .

        Так как 0,4=4/10=2/5 и , то . Полученное число можно записать в виде периодической десятичной дроби 1,5(3) .

        При умножении бесконечной непериодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число, обыкновенную дробь или смешанное число следует заменить десятичной дробью, после чего провести округление умножаемых дробей и закончить вычисления.

        Так как 2/3=0,6666… , то . После округления умножаемых дробей до тысячных, приходим к произведению двух конечных десятичных дробей 3,568 и 0,667 . Выполним умножение в столбик:

        Полученный результат следует округлить до тысячных, так как умножаемые дроби были взяты с точностью до тысячных, имеем 2,379856≈2,380 .

        www.cleverstudents.ru

        29. Умножение десятичных дробей. Правила


        Найдем площадь прямоугольника со сторонами равными
        1,4 дм и 0,3 дм . Переведем дециметры в сантиметры:

        1,4 дм = 14 см ; 0,3 дм = 3 см .

        Теперь вычислим площадь в сантиметрах.

        S = 14 • 3 = 42 см 2 .

        Переведем квадратные сантиметры в квадратные
        дециметры:

        д м 2 = 0,42 д м 2 .

        Значит, S = 1,4 дм • 0,3 дм = 0,42 дм 2 .

        Умножение двух десятичных дробей выполняется так:
        1) числа перемножаются без учета запятых.
        2) запятая в произведении ставится так, чтобы отделить справа
        столько же знаков, сколько отделено в обоих множителях
        вместе взятых. Например:

        1,1 • 0,2 = 0,22 ; 1,1 • 1,1 = 1,21 ; 2,2 • 0,1 = 0,22 .

        Примеры умножения десятичных дробей в столбик:

        Вместо умножения любого числа на 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ,
        можно разделить это число на 10 ; 100 ; или 1000 соответственно.
        Например:

        22 • 0,1 = 2,2 ; 22 : 10 = 2,2 .

        При умножении десятичной дроби на натуральное число, мы должны:

        1) перемножить числа, не обращая внимания на запятую;

        2) в полученном произведении поставить запятую так, чтобы справа
        от нее было столько же цифр, сколько в десятичной дроби.

        Найдем произведение 3,12 • 10 . По указанному выше правилу
        сначала умножаем 312 на 10 . Получим: 312 • 10 = 3120 .
        А теперь отделяем запятой две цифры справа и получаем:

        3,12 • 10 = 31,20 = 31,2 .

        Значит, при умножении 3,12 на 10 мы перенесли запятую на одну
        цифру вправо. Если умножить 3,12 на 100 , то получим 312 , то есть
        запятую перенесли на две цифры вправо.

        3,12 • 100 = 312,00 = 312 .

        При умножении десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 и т. д., надо
        в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей
        стоит в множителе. Например:

        0,065 • 1000 = 0065, = 65 ;

        2,9 • 1000 = 2,900 • 1000 = 2900, = 2900 .

        Задачи на тему «Умножение десятичных дробей»

        school-assistant.ru

        Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей

        Сложение и вычитание десятичных дробей аналогично сложению и вычитанию натуральных чисел, но с определенными условиями.

        Правило. Сложение и вычитание десятичных дробей производится по разрядам целой и дробной части как натуральных чисел.

        При письменном сложении и вычитании десятичных дробей запятая, отделяющая целую часть от дробной, должна находиться у слагаемых и суммы или у уменьшаемого, вычитаемого и разности в одном столбце (запятая под запятой от записи условия до конца вычисления).

        Сложение и вычитание десятичных дробей в строку:

        243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

        843,217 — 700,628 = (800 — 700) + 40 + 3 + (0,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

        Сложение и вычитание десятичных дробей в столбик:

        Сложение десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для записи чисел, когда сумма разряда переходит через десяток. Вычитание десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для того, чтобы отметить разряд, в котором одалживается 1.

        Если справа от слагаемого или уменьшаемого не хватает разрядов дробной части, то справа в дробной части можно дописывать столько нулей (увеличивать разрядность дробной части), сколько разрядов в другом слагаемом или уменьшаемом.

        Умножение десятичных дробей производится так же, как и умножение натуральных чисел, по тем же правилам, но в произведении ставится запятая по сумме разрядов множителей в дробной части, считая справа налево (сумма разрядов множителей — это количество разрядов после запятой у множителей, вместе взятых).

        При умножении десятичных дробей в столбик первая справа значащая цифра подписывается под первой справа значащей цифрой, как и в натуральных числах:

        Запись умножения десятичных дробей в столбик:

        Запись деления десятичных дробей в столбик:

        Подчеркнутые знаки — это знаки, за которые переносится запятая, потому что делитель должен быть целым числом.

        Правило. При делении дробей делитель десятичной дроби увеличивается на столько разрядов, сколько разрядов в дробной его части. Чтобы дробь не изменилась, на столько же разрядов увеличивается и делимое (в делимом и делителе запятая переносится на одно и то же число знаков). Запятая ставится в частном на том этапе деления, когда целая часть дроби разделена.

        Для десятичных дробей, как и для натуральных чисел, сохраняется правило: на ноль десятичную дробь делить нельзя!

        shkolo.ru