Закон гука для напряжения

Техническая механика

Сопротивление материалов

Закон Гука для продольных нагрузок

Более 350 лет назад 25-летний английский физик Роберт Гук (в англоязычной транскрипции — Хук) сформулировал зависимость между относительным линейным удлинением тела и величиной растягивающей тело силы.
В оригинале формулировка закона, предложенная Гуком, звучит примерно так:
«Какова сила, таково и удлинение».
В современной трактовке эта зависимость в общем виде формулируется следующим образом:
«Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации» .

Казалось бы, очевидный вывод, который напрашивается естественным образом – чем больше сила, приложенная к брусу, тем в большей степени он деформируется. Тем не менее, заслуга Гука заключается в том, что именно он обратил внимание, на линейную (прямо пропорциональную) зависимость между нагрузкой и относительной деформацией.

Открытия многих, казалось бы — очевидных, закономерностей совершают гении. Ведь в течении предшествующих Ньютону человеческих поколений считалось, что чем легче тело, тем дольше оно падает на земную поверхность с высоты. И лишь гений смог опровергнуть это заблуждение миллионов людей. По сути, только великий Эйнштейн сделал неочевидное открытие, которому, впрочем, предшествовали научные исследования и гипотезы многих талантов.

Долгое время закон Гука являлся единственным инструментом новоявленной науки сопротивление материалов, и лежал в основе всех расчетов конструкций на прочность и жесткость. Лишь спустя много лет учеными были установлены более сложные (непропорциональные) зависимости между напряжениями и приложенными к элементам конструкции силовыми факторами, которые, впрочем, тоже основываются на законе Гука.
Большую роль в развитии науки сопротивление материалов сыграли такие видные ученые, как Герц, Журавский, Эйлер, Ясинский и другие, установившие зависимости между напряжениями и сложными видами нагружений. Большинство этих зависимостей и выводов основываются на экспериментально-опытных исследованиях, т. е. получены не только с помощью математического анализа (эмпирические зависимости) .

Роберт Гук (1635—1703) считается одним из талантливейших ученых своего времени. Обладавший кипучей творческой энергией, он совершил много интересных открытий в самых разных науках – фундаментальной физике, термодинамике, акустике, оптике, биологии. Достаточно сказать, что Гуку многие ученые отдают пальму первенства в открытии закона всемирного тяготения, считая, что он раньше Ньютона пришел к его осознанию.
Роберт Гук отличался способностью браться за изучение многих явлений в природе, и, зачастую, не закончив исследование одного явления, на полпути к открытию брался за совершенно другой научный труд, а результатами его незавершенных выводов пользовались последователи, увековечивая свое имя в науке.
Тем не менее, этот человек останется в памяти потомков, как автор знаменитого закона Гука.

Математически закон Гука для деформаций растяжения и сжатия можно записать так:

где:
σ – напряжение в сечении бруса,
ε — относительное удлинение бруса, которое определяется по формуле ε = Δl/l (здесь Δl – абсолютное удлинение бруса, l – начальная длина бруса),
Е – коэффициент пропорциональности, который называют модулем продольной упругости (или модулем упругости первого рода, или модулем Юнга).

Коэффициент Е является справочной (определяемой экспериментально) величиной, характеризующей способность материала противостоять деформации и измеряется в Паскалях (1 Па = Н/м 2 ) .
Поскольку 1 Паскаль – очень маленькая величина (муха весом 14 мг, севшая на столик площадью 1 м 2 окажет на него давление, примерно равное 0,00014 Па) , поэтому чаще применяют ее производную – 1 МПа (миллион Паскалей, или 1 МПа = 1 000 000 Па) .

Математическое выражение закона Гука можно представить в расширенном виде, подставив вместо σ (напряжения) его зависимость от силы и площади сечения: σ = F/A , и вместо ε (удельное удлинение) выражение Δl/l . Тогда получим:
F/A = Е(Δl/l) , откуда можно выразить абсолютное удлинение (укорочение) бруса в результате приложения внешней силы F :

Это выражение можно сформулировать следующим образом: абсолютное удлинение (укорочение) бруса прямо пропорционально приложенной внешней нагрузке и длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения бруса .
Выражение ЕА , стоящее в знаменателе дроби, часто называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии.

Приведенные формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из однородного материала и при постоянной продольной силе. Если брус имеет ступенчатую форму, или состоит из участков, изготовленных из разных материалов, и нагружен на разных участках несколькими продольными силами, то абсолютное изменение длины всего бруса определяют, как сумму абсолютных удлинений его отдельных участков:

В заключение следует отметить, что закон Гука справедлив в ограниченном диапазоне внешних нагрузок и не применим, когда некоторые напряжения (или деформации) достигают предельных значений, характерных для каждого материала. При превышении предельных значений напряжений линейная зависимость между нагрузками и деформациями не наблюдается.

Материалы раздела «Сопротивление материалов»:

k-a-t.ru

Закон Гука формула. Модуль Юнга

Для большинства конструкционных материалов между напряжением () и продольной деформацией () до определенного предела нагружения существует линейная зависимость

Закон Гука : Напряжение пропорционально деформации.

Впервые Закон Гука был опубликован в виде анаграммы английским ученым Робертом Гуком (1635 – 1703 гг.). При правильной расстановке букв анаграмма читается: «Каково удлинение, такова и сила».

К такому же заключению в 1680 г., независимо от Гука, пришел французский ученый Эдмон Мариотт.

Коэффициент пропорциональности (E) в формуле закона Гука называется модуль продольной упругости или модуль Юнга – по имени английского ученого Томаса Юнга. Значение модуля Юнга для данного материала устанавливается опытным путем. В справочниках обычно приводятся среднее значение модуля Юнга .

Необходимо отметить, что некоторые материалы не подчиняются закону Гука , например, кожа, ткани. Такие материалы, как, например, чугун, только с некоторым приближением можно считать подчиняющимся закону Гука. Но даже и те материалы, которые подчиняются закону Гука, перестают ему следовать при достижении деформации определенного значения.

Из закона Гука видно: чем больше модуль Юнга , тем меньше (при том же значении напряжения) деформация материала. Следовательно, модуль продольной упругости характеризует жесткость материала при растяжении (сжатии). Из формулы закона Юнга видно, что модуль Юнга измеряется в тех же единицах, что и нормальное напряжение ().

Так, например, для всех марок сталей МПа.

sopromato.ru

Обобщенный закон Гука

Законом Гука обычно называют линейные соотношения между компонентами деформаций и компонентами напряжений.

Возьмем элементарный прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным осям, нагруженный нормальным напряжением σх, равномерно распределенным по двум противоположным граням (рис. 1). При этом σy = σz = τхy = τхz = τyz = 0.

Вплоть до достижения предела пропорциональности относительное удлинение дается формулой

где Е — модуль упругости при растяжении. Для стали Е = 2*10 5 МПа, поэтому деформации очень малы и измеряются в процентах или в 1*10 5 (в тензометрических приборах, измеряющих деформации).

Удлинение элемента в направлении оси х сопровождается его сужением в поперечном направлении, определяемом компонентами деформаций

где μ – константа, называемая коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона. Для стали μ обычно принимается равным 0,25–0,3.

Если рассматриваемый элемент нагружен одновременно нормальными напряжениями σx, σy, σz, равномерно распределенными по его граням, то добавляются деформации

Производя наложение компонент деформации, вызванных каждым из трех напряжений, получим соотношения

Эти соотношения подтверждаются многочисленными экспериментами. Примененный метод наложения или суперпозиции для отыскания полных деформаций и напряжений, вызванных несколькими силами, является законным, пока деформации и напряжения малы и линейно зависят от приложенных сил. В таких случаях мы пренебрегаем малыми изменениями размеров деформируемого тела и малыми перемещениями точек приложения внешних сил и основываем наши вычисления на начальных размерах и начальной форме тела.

Следует отметить, что из малости перемещений еще не следует линейность соотношений между силами и деформациями. Так, например, в сжатом силами Q стержне, нагруженном дополнительно поперечной силой Р, даже при малом прогибе δ возникает дополнительный момент М = , который делает задачу нелинейной. В таких случаях полные прогибы не являются линейными функциями усилий и не могут быть получены с помощью простого наложения (суперпозиции).

Экспериментально установлено, что если касательные напряжения действуют по всем граням элемента, то искажение соответствующего угла зависит только от соответствующих компонентов касательного напряжения.

Константа G называется модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига.

Общий случай деформации элемента от действия на него трех нормальных и трех касательных компонентов напряжений можно получить с помощью наложения: на три линейные деформации, определяемые выражениями (5.2а), накладываются три деформации сдвига, определяемые соотношениями (5.2б). Уравнения (5.2а) и (5.2б) определяют связь между компонентами деформаций и напряжений и называются обобщенным законом Гука. Покажем теперь, что модуль сдвига G выражается через модуль упругости при растяжении Е и коэффициент Пуассона μ. Для этого рассмотрим частный случай, когда σх = σ, σy = –σ и σz = 0.

Вырежем элемент abcd плоскостями, параллельными оси z и наклоненными под углом 45° к осям х и у (рис. 3). Как следует из условий равновесия элемента 0, нормальные напряжения σv на всех гранях элемента abcd равны нулю, а касательные напряжения равны

Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. Из уравнений (5.2а) следует, что

то есть удлинение горизонтального элемента 0c равно укорочению вертикального элемента 0b: εy = –εx.

Угол между гранями аb и bc изменяется, и соответствующую величину деформации сдвига γ можно найти из треугольника 0:

Отсюда следует, что

и при малых γ получим

Отсюда и, следовательно,

Уравнения (5.2а) и (5.2б) определяют компоненты деформаций через компоненты напряжений. Выведем обратные соотношения — напряжения через деформации.

Складывая уравнения (5.2а) и используя обозначения

получаем зависимость между средней деформацией и средним напряжением

Поскольку Зε0 равно объемному расширению, величину называют модулем объемного расширения. Используя соотношения (5.4) и решая уравнения (5.2а) относительно σх, σу, σz, получим

Если учесть, что , то закон Гука запишется в виде

Тогда соотношения (4.11) можно записать в виде

Если ввести символ Кронекера , то закон Гука в краткой записи примет вид

vse-lekcii.ru

Лекции и примеры решения задач механики

Закон Гука

Законом Гука называют базовую зависимость в механике устанавливающую взаимосвязь между напряжениями и соответствующими деформациями.

Закон Гука гласит: до определенного момента напряжения прямо пропорциональны деформациям.

Рассмотрим его на следующем примере:

Прямой брус постоянного сечения длиной l , заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой F (рис. 1).

Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δ l , которая называется полным или абсолютным удлинением.

Если растягивающую силу последовательно увеличивать в n раз, удлинение стержня будет увеличиваться во столько же раз.

Если повторить опыты со стержнями из того же материала, меняя его длину и площадь поперечного сечения, то увидим, что пока нагрузка на образец не достигла определенного предела, удлинение прямо пропорционально силе F, длине образца l и обратно пропорционально площади А.

Данные экспериментов позволяют получить следующую зависимость:

где Е – коэффициент пропорциональности, зависящий от материала называемый модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода (модулем Юнга I-го рода).

Произведение ЕА называется жёсткостью сечения бруса (стержня) при растяжении и сжатии.

Зависимость также можно представить в следующем виде

называется относительным удлинением.

Подставив в предыдущую формулу вместо Δl/l величину ε, а вместо F/A – нормальное напряжение σ, получаем выражение

или закон Гука в его общеизвестном виде

Необходимо отметить что закон Гука действителен только при напряжениях не превышающих предела пропорциональности.

isopromat.ru

Закон гука для напряжения

1.12. Сила упругости. Закон Гука

При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела. Эта сила возникает вследствие электромагнитного взаимодействия между атомами и молекулами вещества. Ее называют силой упругости .

Простейшим видом деформации являются деформации растяжения и сжатия (рис. 1.12.1).

Закон Гука может быть обобщен и на случай более сложных деформаций. Например, при деформации изгиба упругая сила пропорциональна прогибу стержня, концы которого лежат на двух опорах (рис. 1.12.2).

Упругую силу действующую на тело со стороны опоры (или подвеса), называют силой реакции опоры . При соприкосновении тел сила реакции опоры направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения. Поэтому ее часто называют силой нормального давления . Если тело лежит на горизонтальном неподвижном столе, сила реакции опоры направлена вертикально вверх и уравновешивает силу тяжести: Сила с которой тело действует на стол, называется весом тела.

В технике часто применяются спиралеобразные пружины (рис. 1.12.3). При растяжении или сжатии пружин возникают упругие силы, которые также подчиняются закону Гука. Коэффициент k называют жесткостью пружины . В пределах применимости закона Гука пружины способны сильно изменять свою длину. Поэтому их часто используют для измерения сил. Пружину, растяжение которой проградуировано в единицах силы, называют динамометром . Следует иметь в виду, что при растяжении или сжатии пружины в ее витках возникают сложные деформации кручения и изгиба.

В отличие от пружин и некоторых эластичных материалов (резина) деформация растяжения или сжатия упругих стержней (или проволок) подчиняются линейному закону Гука в очень узких пределах. Для металлов относительная деформация ε = x / l не должна превышать 1 % . При больших деформациях возникают необратимые явления (текучесть) и разрушение материала.

physics.ru