Закон кирхгофа википедия

Правила Кирхгофа

Правила Кирхгофа (часто, в литературе, называются не совсем корректно Зако́ны Кирхго́фа) — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепи постоянного, переменного и квазистационарного тока. [1] Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач в теории электрических цепей и практических расчётов сложных электрических цепей. Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов или напряжений, и соответственно, найти значение токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения. Сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году. Название «Правила» корректнее потому, что эти правила не являются фундаментальными законами природы, а вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (третье уравнение Максвелла при неизменном магнитном поле). Эти правила не следует путать с ещё двумя законами Кирхгофа в химии и физике.

Содержание

Формулировка правил [ править ]

Определения [ править ]

Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятия узел, ветвь и контур электрической цепи. Ветвью называют любой двухполюсник, входящий в цепь, например, на рис. отрезок, обозначенный R1, I1 есть ветвь. Узлом называют точку соединения трех и более ветвей (на рис. обозначены жирными точками). Контур — замкнутый цикл из ветвей. Термин замкнутый цикл означает, что, начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходный узел. Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.

В терминах данных определений правила Кирхгофа формулируются следующим образом.

Первое правило [ править ]

Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла.

Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Это правило следует из фундаментального закона сохранения заряда.

Второе правило [ править ]

Второе правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений на всех ветвях, принадлежащих любому замкнутому контуру цепи, равна алгебраической сумме ЭДС ветвей этого контура. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю:

для постоянных напряжений для переменных напряжений

Это правило вытекает из 3-го уравнения Максвелла, в частном случае стационарного магнитного поля.

Иными словами, при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к исходному значению. Частным случаем второго правила для цепи, состоящей из одного контура, является закон Ома для этой цепи. При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура. При этом падение напряжения на ветви считают положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, и отрицательным — в противном случае (см. далее).

Правила Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных линеаризованных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

Особенности составления уравнений для расчёта токов и напряжений [ править ]

Если цепь содержит узлов, то она описывается уравнениями токов. Это правило может применяться и для других физических явлений (к примеру, система трубопроводов жидкости или газа с насосами), где выполняется закон сохранения частиц среды и потока этих частиц.

Если цепь содержит ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве , то она описывается уравнениями напряжений.

  • Правила Кирхгофа, записанные для узлов или контуров цепи, дают полную систему линейных уравнений, которая позволяет найти все токи и все напряжения.
  • Перед тем, как составить уравнения, нужно произвольно выбрать:
    • положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме, при этом не обязательно следить, чтобы в узле направления токов были и втекающими, и вытекающими, окончательное решение системы уравнений всё равно даст правильные знаки токов узла;
    • положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону, с целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми (напр.: по часовой стрелке).
    • Если направление тока совпадает с направлением обхода контура (которое выбирается произвольно), падение напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным.
    • При записи линейно независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону (достаточное, но не необходимое условие).
    • В сложных непланарных графах электрических цепей человеку трудно увидеть независимые контуры и узлы, каждый независимый контур (узел) при составлении системы уравнений порождает ещё 1 линейное уравнение в определяющей задачу системе линейных уравнений. Подсчёт количества независимых контуров и их явное указание в конкретном графе развит в теории графов.
    • Пример [ править ]

      Количество узлов: 3.

      Количество ветвей (в замкнутых контурах): 4. Количество ветвей, содержащих источник тока: 0.

      Количество контуров: 2.

      Для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым правилом, выполняются следующие соотношения:

      Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например, здесь токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.

      Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений позволяет определить все токи узлов и ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом контурных токов.

      В соответствии со вторым правилом, справедливы соотношения:

      Полученные системы уравнений полностью описывают анализируемую цепь, и их решения определяют все токи и все напряжения ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом узловых потенциалов.

      О значении для электротехники [ править ]

      Правила Кирхгофа имеют прикладной характер и позволяют наряду и в сочетании с другими приёмами и способами (метод эквивалентного генератора, принцип суперпозиции, способ составления потенциальной диаграммы) решать задачи электротехники. Правила Кирхгофа нашли широкое применение благодаря простоте формулировки уравнений и возможности их решения стандартными способами линейной алгебры (методом Крамера, методом Гаусса и др.).

      Закон излучения Кирхгофа [ править ]

      Закон излучения Кирхгофа гласит — отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел при данной температуре для данной частоты для равновесного излучения и не зависит от их формы, химического состава и проч.

      Закон Кирхгофа в химии [ править ]

      Закон Кирхгофа гласит — температурный коэффициент теплового эффекта химической реакции равен изменению теплоёмкости системы в ходе реакции.

      wp.wiki-wiki.ru

      ПЕРВЫЙ ЗАКОН КИРХГОФА

      Законы Кирхгофа (более корректно — правила Киргхгофа) применяются при расчете сложных (разветвленных) электрических цепей. Предлагаю рассмотреть их по очереди и начать, естественно, с первого.

      Здесь:

      • I i — ток в узле,
      • n — число проводников, сходящихся в узле,
      • токи, втекающие в узел ( I1, In ) считаются положительными,
      • вытекающие токи ( I2, I3 ) — отрицательными.
      • В таком виде этот закон звучит и выглядит, наверное, очень академично, поэтому предлагаю все несколько упростить.

        Нарисуем разветвленную электрическую цепь в более привычном виде (рис.2) и дадим такую формулировку:

        Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов, вытекающих из узла.

        Для этого случая формула первого закона Кирхгофа примет вид: I= I1+I2+. +In , что для повседневных вычислений гораздо удобнее.

        ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА

        Второй закон Кирхгофа определяет зависимость между падениями напряжений и ЭДС в замкнутых контурах и имеет следующий вид (рис.3) и определение:

        При отсутствии в контуре ЭДС сумма падений напряжений равна 0.

        Теперь несколько пояснений по практическому применению этого правила Кирхгофа:

        • поскольку, алгебраическая сумма требует учета знака следует выбрать направление обхода контура ( на рис.3 — по часовой стреклке), токи и напряжения, совпадающие с этим направлением считать положительными, иные — отрицательными. При затруднении в определении направления тока, возьмите произвольное, если в результате вычислений получите результат со знаком «-«, поменяйте выбранное направление на противоположенное.
        • для нашего примера можно записать:
          U1+U3-U2=0
          U4+U5-U3=0
        • кроме того, руководствуясь первым правилом Кирхгофа :
          Iвх — I1 — I2 = 0
          I1 — I3 — I4=0
          I4 — I5=0
          I2 + I3 + I5 — Iвых=0 ,

        получаем систему из 6 уравнений, полностью описывающую рассматриваемую электрическую цепь.

        © 2012-2018 г. Все права защищены.

        Все представленные на этом сайте материалы имеют исключительно информационный характер и не могут быть использованы в качестве руководящих и нормативных документов

        eltechbook.ru

        Постоянный ток

        Господа, всем привет!

        Сегодня мы рассмотрим второй закон Кирхгофа. Он чуть сложнее, чем первый закон Кирхгофа, который мы уже рассматривали ранее, поэтому я сперва дам общую формулировку, а потом мы постараемся аккуратно разобраться во всем этом деле.

        Итак, второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения в ветвях контура. Может быть сложновато для восприятия, если вы читаете это в первый раз, не спорю. Но сейчас попробуем разобраться более детально во всем этом. Для начала давайте определим, что же такое контур электрической цепи, где эти самые ЭДС действуют. Пожалуй, это тот случай, когда проще нарисовать картинку, чем объяснять словами. Взглянем на рисунок 1.

        Рисунок 1 – Контура в схеме

        На нем мы можем видеть три контура: я обозначил их красным, оранжевым и синим цветами. То есть контур – это некоторая замкнутая часть электрической цепи, состоящая из нескольких ветвей.

        То есть что говорит второй закон Кирхгофа? У нас есть большая и сложная электрическая схема. В ней много различных контуров. Будем рассматривать подробно один из этих контуров, любой на выбор. И вот если мы в этом контуре сложим ЭДС всех источников, какие там есть, то их сумма будет равна сумме падений напряжения на всех сопротивлениях этого контура. И это верно для любого контура в нашей схеме. Довольно интересный факт. И если про первый закон Кирхгофа можно говорить, что он интуитивно очевиден, то здесь, вообще говоря, это не совсем так. А поскольку он не очевиден на первый взгляд, тем больше поводов показать его верность математически.

        Господа, прошу обратить внимание на рисунок 2. На нем изображен один из контуров какой-то сложной электрической схемы.

        Рисунок 2 – Контур схемы

        Почему он именно такой, можете вы спросить? Да просто так! Я рисовал его так, как подскажет фантазия в тот момент. Вы можете смело заявить, что ваша фантазия лучше и нарисовать какой-либо другой контур с другими компонентами. Потом повторите все действия, которые я буду производить над этим контуром, и в конечном счете у вас должен получиться точно такой же результат, как и у меня.

        Первым делом давайте зададимся направлением обхода контура. Это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода контура у нас по часовой стрелке, и я показал его синей стрелочкой на рисунке 2.

        Следующим шагом нам надо расставить предполагаемое направление токов в каждой ветви. Тут опять же все целиком отдается вашей фантазии. На данном этапе можно рисовать любое направление токов. Если мы угадали – отлично, если нет – в конце всех расчетов получим ток с другим знаком. Я расставил на рисунке 2 все токи черными стрелками и рядом с ними подписал их величины (I1…I4).

        А теперь внимание, господа. Пришло время вспомнить то выражение, ради получения которого я написал предыдущую статью. На всякий случай, если вдруг кто забыл, напоминаю его

        Оно означает, что если потенциалы на концах ветви равны φ1 и φ2, то их разность равна ЭДС источника в ветви минус произведение тока в ветви на сопротивление в ветви.

        Применим это выражение для каждой ветви нашего контура, изображенного на рисунке 2. Поскольку у нас в контуре четыре ветви, то всего мы получим четыре уравнения. Резонный вопрос – а как быть со знаками при записи этих уравнений? Правила тут два.

      • Если направление работы источника напряжения совпадает с направлением обхода контура, то берем его со знаком плюс. Если не совпадает – со знаком минус. Совсем просто: если стрелка в источнике напряжения совпадает со стрелкой обхода, то Е в уравнении пишется без изменения знака, если стрелки в разные стороны – то надо поставить минус перед E.
      • Если направление тока, которое мы сами выбрали чуть раньше, совпадает с направлением обхода, то в нашем уравнении перед произведением тока на сопротивление так и остается знак минус. Если они направлены в разные стороны, то знак минус меняем на плюс.
      • Пользуясь этими простыми правилами, запишем уравнения для каждой ветви.

        Очевидно, что если в цепи нет источника ЭДС, то у нас не будет первого слагаемого в правой части. А если нет сопротивления, то не будет второго слагаемого в правой части. Собственно, это и видно из составленных уравнений.

        Господа, надеюсь вы помните, что с уравнениями в одной системе можно творить всякие интересные штуки? Например, можно все их сложить между собой (правые и левые части). Легко заметить, что при сложении всех этих четырех уравнений в левой части будет нолик, то есть все потенциалы волшебным образом самоликвидируются. Сделаем это! Получим

        А теперь давайте перенесем все слагаемые с ЭДС в одну сторону, а с током и сопротивлением – в другую. Имеем

        А имеем мы, собственно, второй закон Кирхгофа. Все честно, как я и писал в начале – алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре равна алгебраической сумме падений напряжения в ветвях контура. Надеюсь, господа, после статьи про закон Ома у вас не возникает вопросов, почему произведение тока на сопротивление – это падение напряжения на сопротивлении? Если возникает – срочно, очень срочно, прямо сейчас пройдитесь по этой ссылке и разрешите эти вопросы!

        А что же все-таки тут понимается под словом алгебраическая сумма? Это словосочетание нам уже встречалось. Это значит, что складывать надо с учетом знака. А как выбирать правильно этот самый знак? Господа, взгляните еще разок на рисунок 2. Там у нас задано направление обхода контура и направление токов. Все это мы выбирали (я бы даже сказал придумывали) сами. Ну и направление работы источника еще видно по его графическому изображению.

        Так вот, если направление работы источника ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то мы ему приписываем знак плюс, а если не совпадает – минус. Аналогично и для правой части. Если направление тока совпадет с направлением обхода, то мы пишем произведение тока на сопротивление со знаком плюс. Иначе – со знаком минус.

        Специально для труЪ-математиков привожу запись второго закона Кирхгофа с использованием хитрых значков суммирования. Вне всякого сомнения, если вы будете использовать эту запись, то произведете впечатление человека, который шарит в теме!

        Здесь у нас N источников c ЭДС Ei и M ветвей с сопротивлениями Rj и токами Ij. Разумеется, суммирование идет все так же с учетом знаков.

        Может возникнуть резонный вопрос: «Как же так? Получается, я сам все придумываю: и направление обхода, и направление токов и это значит, что знак может получиться любой. Поверну стрелку тока в другую сторону и сразу знак у слагаемого поменяется! Но ведь в реальной схеме токи всегда текут в своем направлении вне зависимости от того, что я там нарисую на листочке! Какое-то противоречие!» Господа, вопрос весьма справедливый. Но предлагаю разобраться в нем в следующей статье. Сохраним некоторую интригу на текущий момент, как принято во всяких этих сериальчиках . А сейчас – спасибо, что прочитали статью, огромной вам всем удачи, и пока!

        Вступайте в нашу группу Вконтакте

        Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

        myelectronix.ru

        Закон Кирхгофа

        Закон Кирхгофа (правила Кирхгофа), сформулированные Густавом Кирхгофом в 1845 году, являются следствиями из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля.

        Закон Кирхгофа – это соотношения, выполняемые между токами и напряжениями на участках любых электрических цепей. Они позволяют рассчитывать любые электрические цепи: постоянного, переменного или квазистационарного тока.

        При формулировании правил Кирхгофа используют такие понятия, как ветвь, контур и узел электрической цепи.

        • Ветвь – участок электрической цепи с одни и тем же током.
        • Узел – точка соединения трех или более ветвей.
        • Контур – замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей разветвлённой электрической цепи.
        • При обходе надо учесть, что ветвь и узел могут одновременно принадлежать нескольким контурам. Правила Кирхгофа справедливы как для линейных, так и для нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений. Правила Кирхгофа широко применяются при решении задач электротехники за счет легкости в расчетах.

          1 закон Кирхгофа

          В цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношения между током, сопротивлением и ЭДС всей цепи или на каком-либо участке цепи определяются законом Ома. Но на практике в цепях токи от какой-либо точки идут по разным путям (Рис. 1). Поэтому становиться актуальным введение новых правил для проведения расчетов электрических цепей.

          Рис. 1. Схема параллельного соединения проводников.

          Так, при параллельном соединении проводников начала всех проводников соединены в одну точку, а концы проводников – в другую точку. Начало цепи присоединяется к одному полюсу источника напряжения, а конец цепи – к другому полюсу.

          Из рисунка видно, что при параллельном соединении проводников для прохождения тока имеется несколько путей. Ток, протекая к точке разветвления А, растекается далее по трем сопротивлениям и равен сумме токов, выходящих из этой точки: I = I1 + I2 + I3.

          Согласно первому правилу Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.

          Запишем первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

          Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла. То есть, сколько тока втекает в узел, столько же вытекает (как следствие закона сохранения электрического заряда). Алгебраическая сумма — это сумма, в которую входят слагаемые со знаком плюс и со знаком минус.

          Рис. 2. i_1+i_4=i_2+i_3.

          Рассмотрим применение 1 закона Кирхгофа на следующем примере:

          • I1 – это полный ток, текущий к узлу А, а I2 и I3 — токи, вытекающие из узла А.
          • Тогда мы можем записать: I1 = I2 + I3.
          • Аналогично для узла B: I3 = I4 + I5.
          • Пусть, что I4 = 5 А и I5 = 1 А, получим: I3 = 5 + 1 = 6 (А).
          • Пусть I2 = 10 А, получим: I1 = I2 + I3 = 10 + 6 = 16 (А).
          • Запишем подобное соотношение для узла C: I6 = I4 + I5 = 5 + 1 = 6 А.
          • А для узла D: I1 = I2 + I6 = 10 + 6 = 16 А
          • Таким образом мы наглядно видим справедливость первого закона Кирхгофа.
          • 2 закон Кирхгофа

            При расчете электрических цепей в большинстве случаев нам встречаются цепи, образующие замкнутые контуры. В состав таких контуров, кроме сопротивлений, могут входить ЭДС (источники напряжений). На рисунке 4 представлен участок такой электрической цепи. Произвольно выбираем положительные направления токов. Обходим контур от точки А в произвольном направлении (выберем по часовой стрелке). Рассмотрим участок АБ: происходит падение потенциала (ток идет от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом).

            • На участке АБ: φА + E1 – I1r1 = φБ.
            • БВ: φБ – E2 – I2r2 = φВ.
            • ВГ: φВ – I3r3 + E3 = φГ.
            • ГА: φГ – I4r4 = φА.
            • Складывая данные уравнения, получим: φА + E1 – I1r1 + φБ – E2 – I2r2 + φВ – I3r3 + E3 + φГ – I4r4 = φБ + φВ + φГ + φА
            • или: E1 – I1r1 – E2 – I2r2 – I3r3 + E3 – I4r4 = 0.
            • Откуда имеем следующее: E1 – E2 + E3 = I1r1 + I2 r2 + I3r3 + I4r4.
            • Таким образом, получаем формулу второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

              Уравнение для постоянных напряжений — Уравнение для переменных напряжени —

              Теперь можем сформулировать определение 2 (второго) закона Кирхгофа:

              Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. В случае отсутствия источников ЭДС, суммарное напряжение равно нулю.

              Иначе формулируя второе правило Кирхгофа, можно сказать: при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к начальному значению.

              При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура, при этом падение напряжения на ветви считается положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, в противном случае – отрицательным.

              Определить знак можно по алгоритму:

            • 1. выбираем направление обхода контура (по или против часовой стрелки);
            • 2. произвольно выбираем направления токов через элементы цепи;
            • 3. расставляем знаки для напряжений и ЭДС по правилам (ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура со знаком «+», иначе – «-»; напряжения, падающие на элементах цепи, если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, со знаком «+», в противном случае – «-»).
            • Закон Ома является частным случаем второго правила для цепи.

              Приведем пример применения второго правила Кирхгофа:

              По данной электрической цепи (Рис 6) необходимо найти ее ток. Произвольно берем положительное направление тока. Выберем направление обхода по часовой стрелке, запишем уравнение 2 закона Кирхгофа:

              Знак минус означает, что выбранное нами направление тока противоположно его действительному направлению.

              Решение задач

              1. По приведенной схеме записать законы Кирхгофа для цепи.

              Дано:

            • R1
            • R2
            • R3
            • E1
            • E2
              • I1 – ?
              • I2 – ?
              • I3 – ?
              • Используя первый закон Кирхгофа, запишем уравнение для цепи. Сумма токов сходящихся в узле равна нулю. Примем входящие токи положительными, а выходящие отрицательными. Тогда:
              • Используя второй закон Кирхгофа составим уравнения для первого и второго контуров цепи.
              • Направления обхода произвольны, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, знак «+», если иначе, то «-». С источниками ЭДС так же.
              • Для первого контура токи I1 и I3 совпадают с направлением обхода, ЭДС Е1 также совпадает, то есть берем их со знаком «+».
              • Для первого и второго контуров по второму закону Кирхгофа получаем следующие уравнения:
              • Таким образом, получаем систему из трех уравнений, являющуюся решением задачи:
              • 2. На рисунке приведена цепь с двумя источниками ЭДС величиной 12 В и 5 В, с внутренним сопротивлением источников 0,1 Ом, работающих на общую нагрузку 2 ома. Как будут распределены токи в этой цепи, какие они имеют значения?.

                zakon-oma.ru