Закону пуассона

Формула Пуассона

Числовые характеристики случайной величины Х

Дисперсия распределения Пуассона
D[X] = λ

Пример №1 . Семена содержат 0.1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 2 5 e -5 /5! = 0.03609
Математическое ожидание: M[X] = λ = 2
Дисперсия: D[X] = λ = 2

Пример №2 . Среди семян ржи имеется 0.4% семян сорняков. Составить закон распределения числа сорняков при случайном отборе 5000 семян. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Математическое ожидание: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Закон распределения:

Пример №3 . На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/200. Найдите вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:
а) ровно одно неправильное соединение;
б) меньше чем три неправильных соединения;
в) больше чем два неправильных соединения.
Решение. По условию задачи вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона (15).
а) Задано: n = 200, p = 1/200, k = 1. Найдем P200(1).
Получаем: . Тогда P200(1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k 2. Найдем P200(k > 2).
Эту задачу можно решить проще: найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Рассмотрим случай, когда n является достаточно большим, а p — достаточно малым; положим np = a, где a — некоторое число. В этом случае искомая вероятность определяется формулой Пуассона:

Пример №4 . Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0.005. проверяется 400 деталей. Укажите формулу вычисления вероятности того, что больше 3 деталей оказались с браком.

Пример №5 . Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна p. определить вероятность того, что в партии из N деталей содержится а) ровно три детали; б) не более трех бракованных деталей.
p=0,001; N = 4500
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 4.5 — λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится ровно три детали, равна:

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится не более трех бракованных деталей:
P(x — λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Вероятность того, что за данную минуту она получит ровно два вызова:
P(2) = 0,03334
Вероятность того, что за данную минуту она получит более двух вызовов:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Пример №7 . Рассматриваются два элемента, работающих независимо друг от друга. Продолжительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с параметром λ1 = 0,02 для первого элемента и λ2 = 0,05 для второго элемента. Найти вероятность того, что за 10 часов: а) оба элемента будут работать безотказно; б) только Вероятность того, что за 10 часов элемент №1 не выйдет из строя:
Рещение.
P1(0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0,8187

Вероятность того, что за 10 часов элемент №2 не выйдет из строя:
P2(0) = e -λ2*t = e -0.05*10 = 0,6065

а) оба элемента будут работать безотказно;
P(2) = P1(0)*P2(0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) только один элемент выйдет из строя.
P(1) = P1(0)*(1-P2(0)) + (1-P1(0))*P2(0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187)*0.6065 = 0.4321

Пример №7 . Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?
Примечание: поскольку здесь n*p =1100*0.01=11 > 10, то необходимо использовать теорему Лапласа.

math.semestr.ru

Ответы на экзаменационные вопросы по теории вероятности + Экзаменационные вопросы / Ответы на вопросы по теории вероятности прошлых лет / 21.Закон распределения Пуассона

21. Закон распределения Пуассона и его числовые характеристики

Определение. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, . m, . (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

где – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.(в конспекте=а)

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо сумма ряда

(учтено, что в скобках записано разложение в ряд функции при).

На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром (для=0,5; 1; 2; 3,5; 5).

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределённой по закону Пуассона, совпадают и равны значению параметра этого закона, т. е.

При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность p события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Наряду с «предельным» случаем биномиального распределения закон Пуассона может возникнуть и в ряде других случаев. Так для простейшего потока событий число событий, попадающих на произвольный отрезок времени, есть случайная величина, имеющая пуассоновское распределение. Также по закону Пуассона распределены, например, число рождения четверней, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в «нормальном режиме», число «требований на обслуживание», поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания, и др.

Замечание. Если случайная величина представляет собой сумму двух независимых случайных величин, распределённых по закону Пуассона, то она также распределена по закону Пуассона.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта N раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q=1-p. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

.

При стремлении n к бесконечности произведение np остаётся равной константе λ, а закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

,

k! обозначает факториал,

—основание натурального логарифма.

studfiles.net

Распределение и формула Пуассона

В данной статье мы рассмотрим ещё одно дискретное распределение, которое получило широкое распространение на практике. Не успел я открыть курс по теории вероятностей, как сразу стали поступать запросы: «Где Пуассон? Где задачи на формулу Пуассона?» и т.п. И поэтому я начну с частного применения распределения Пуассона – ввиду большой востребованности материала.

Задача до боли эйфории знакома:

– проводится независимых испытаний, в каждом из которых случайное событие может появиться с вероятностью. Требуется найти вероятность того, что в данной серии испытаний событие появится ровно раз.

Наверное, вам уже снится формула Бернулли🙂

тем более, на уроке о биномиальном распределении вероятностей мы разобрали ситуацию по косточкам.

В том случае, если количество испытаний велико (сотни и тысячи), эту вероятность обычно рассчитывают приближённо – с помощью локальной теоремы Лапласа: , где .

Однако и тут есть «слабое звено» – теорема Лапласа начинает серьёзно барахлить (давать большую погрешность), если вероятность меньше, чем 0,1 (и чем меньше, тем всё хуже). Поэтому здесь используют другой метод, и именно распределение Пуассона.

Итак, если количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в отдельно взятом испытании весьма мала (0,05-0,1 и меньше), то вероятность того, что в данной серии испытаний событие появится ровно раз, можно приближенно вычислить по формуле Пуассона:
, где

Напоминаю, что ноль факториал , а значит, формула имеет смысл и для .

Вместо «лямбды» также используют букву «а».

В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажет ровно 1 замок.

Утопичная, конечно, задача, но что делать – решаем🙂

В данном случае количество «испытаний» велико, а вероятность «успеха» в каждом из них – мала: , поэтому используем формулу Пуассона:

Вычислим:
– по существу, это среднеожидаемое количество вышедших из строя замков.

Таким образом:
– вероятность того, что за месяц из строя выйдет ровно один замок (из 10 тысяч).

Ответ:

С технической точки зрения этот результат можно получить несколькими способами, расскажу о них в историческом ракурсе:

1) С помощью специальной таблицы, которая до сих пор встречается во многих книгах по терверу. В данную таблицу сведены различные значения и соответствующие им вероятности. Табулирование обусловлено тем, что в своё время не существовало бытовых калькуляторов, на которых можно было бы подсчитать значения экспоненциальной функции. Отсюда, кстати, идёт традиция округлять вычисления до 4 знаков после запятой – как в стандартной таблице.

2) С помощью прямого вычисления на микрокалькуляторе (прогресс!).

3) С помощью стандартной экселевской функции:
=ПУАССОН(m; лямбда; 0)
в данной задаче вбиваем в любую ячейку Экселя =ПУАССОН(1; 2; 0) и жмём Enter.

Следует отметить, что развитие вычислительной техники фактически отправило в историю методы Лапласа, да и рассматриваемый метод тоже – по той причине, что ответ легко вычислить более точно по формуле Бернулли:

Здесь я использовал функцию БИНОМРАСП, о которой неоднократно упоминал ранее.

Но формула Пуассона, тем не менее, даёт очень крутое приближение:
– с погрешностью только на 9 знаке после запятой!

Впрочем, это всё лирика, решать-то всё равно нужно по формуле Пуассона:

Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,003. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено: а) ни одного изделия, б) ровно три изделия, в) более трех изделий.

Решение: используем формулу Пуассона:

В данном случае:
– среднеожидаемое количество повреждённых изделий

а)
– вероятность того, что все изделия дойдут в целости и сохранности. Ничего не украдут, одним словом 🙂

б)
– вероятность того, что в пути будут повреждены ровно 3 изделия из 500.

в)
А тут всё немножко хитрее. Сначала найдём – вероятность того, что в пути повредятся не более трёх изделий. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Само собой, ручками это считать надоест, и поэтому я добавил в свой расчётный макет автоматическое построение распределения Пуассона (см. Пункт 7) – пользуйтесь на здоровье.

По теореме сложения вероятностей противоположных событий:
– вероятность того, что при доставке будет повреждено более 3 изделий.

Ответ: а) , б) , в)

Вероятность изготовления бракованных деталей при их массовом производ­стве равна . Определить вероятность того, что в партии из 800 деталей будет: а) ровно 2 бракованные, б) не более двух.

Иногда условие встречается в несколько другой интерпретации. Так, в предложенной задаче может идти речь о том, что производственный брак составляет 0,1% или, например, «в среднем 0,8 детали на каждую тысячу». Обратите внимание, что в последнем случае нам дано готовое значение «лямбда».

В этой связи ни в коем случае не отключаем голову – даже в таких простых примерах!

А теперь о самом распределении Пуассона. Случайная величина , распределённая по этому закону, принимает бесконечное и счётное количество значений , вероятности появления которых определяются формулой:

Или, если расписать подробно:

Вспоминая разложение экспоненты в ряд, легко убедиться, что:

В теории установлено, что математическое ожидание пуассоновской случайной величины равно и дисперсия – тому же самому значению: .

Обратите внимание, что во всех вышеприведённых заданиях мы лишь ПОЛЬЗОВАЛИСЬ распределением Пуассона для приближенного расчёта вероятностей, в то время как ТОЧНЫЕ значения следовало находить по формуле Бернулли, т.е., там имело место биномиальное распределение.

И следующие две задачи принципиально отличаются от предыдущих:

Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Отличие состоит в том, что здесь речь идёт ИМЕННО о распределении Пуассона.

Решение: случайная величина принимает значения с вероятностями:

По условию, , и тут всё просто: событие состоит в трёх несовместных исходах:

вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Ответ:

Аналогичная задача на понимание:

Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет положительное значение.

Помимо приближения биномиального распределения (Примеры 1-3), распределение Пуассона нашло широкое применение в теории массового обслуживания для вероятностной характеристики простейшего потока событий. Постараюсь быть лаконичным:

Пусть в некоторую систему поступают заявки (телефонные звонки, приходящие клиенты и т.д.). Поток заявок называют простейшим, если он удовлетворяет условиям стационарности, отсутствия последствий и ординарности. Стационарность подразумевает то, что интенсивность заявок постоянна и не зависит от времени суток, дня недели или других временнЫх рамок. Иными словами, не бывает «часа пик» и не бывает «мёртвых часов». Отсутствие последствий означает, что вероятность появления новых заявок не зависит от «предыстории», т.е. нет такого, что «одна бабка рассказала» и другие «набежали» (или наоборот, разбежались). И, наконец, свойство ординарности характеризуется тем, что за достаточно малый промежуток времени практически невозможно появление двух или бОльшего количества заявок. «Две старушки в двери?» – нет уж, увольте.

Итак, пусть в некоторую систему поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью заявок в минуту (в час, в день или в произвольный промежуток времени). Тогда вероятность того, что за данный промежуток времени, в систему поступит ровно заявок, равна:

Звонки в диспетчерскую такси представляет собой простейший пуассоновский поток со средней интенсивностью 30 вызовов в час. Найти вероятность того, что: а) за 1 мин. поступит 2-3 вызова, б) в течение пяти минут будет хотя бы один звонок.

Решение: используем формулу Пуассона:

а) Учитывая стационарность потока, вычислим среднее количество вызовов за 1 минуту:
вызова – в среднем за одну минуту.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что за 1 минуту в диспетчерскую поступит 2-3 вызова.

б) Вычислим среднее количество вызов за пять минут:

По формуле Пуассона:
– вероятность того, что в течение 5 минут не будет ни одного звонка.

По теореме сложения вероятностей противоположных событий:
– вероятность того, что в течение 5 минут будет хотя бы один вызов.

Ответ: а) , б)

Заметьте, что, несмотря на конечное количество возможных звонков (а оно в принципе конечно), здесь имеет место именно распределение Пуассона, а не какое-то другое.

Для самостоятельного решения:

Среднее число автомобилей, проходящих таможенный досмотр в течение часа, равно 3. Найти вероятность того, что: а) за 2 часа пройдут досмотр от 7 до 10 автомобилей; б) за пол часа успеет пройти досмотр только 1 автомобиль.

Решение и ответ в конце урока.

Наверное, многие знают, что теория массового обслуживания – это обширный и очень интересный раздел прикладной математики, и сейчас мы познакомились с простейшей его задачей.

Дополнительные примеры на распределение и формулу Пуассона можно найти в тематической pdf-книге, и я предлагаю вам ознакомиться с ещё одной популярной вещью – Гипергеометрическим распределением вероятностей.

Приятного и полезного чтения!

Решения и ответы:

Пример 3. Решение: используем формулу Пуассона:
, в данном случае:

а) – вероятность того, что в данной партии окажется ровно 2 бракованные детали.
б) По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

– вероятность того, что в данной партии окажется не более 2 бракованных изделий.

Ответ: а) , б)

Пример 5. Решение: случайная величина принимает значения с вероятностями . По условию, .
Найдём вероятность того, что случайная величина примет нулевое значение:

По теореме сложения вероятностей противоположных событий:
– вероятность того, что случайная величина примет положительное значение

Ответ:

Пример 7. Решение: предполагая поток простым, используем формулу Пуассона:

а) Вычислим – среднее количество автомобилей, проходящих таможенный досмотр, в течение 2 часов.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

– вероятность того, что за 2 часа досмотр пройдут от 7 до 10 автомобилей

б) Вычислим – среднее количество автомобилей, проходящих досмотр, за 1/2 часа.
По формуле Пуассона:
– вероятность того, что за пол часа таможенный досмотр пройдёт только один автомобиль.

Ответ: а) , б)

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com

mathprofi.ru